2.5 由总能量决定的轨道形状

来源： 考纲 §2 · 课堂笔记 §7.7

用更精确的势能 $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$（非均匀场中——即场强随距离减小的场，不同于此前 $g$ 取常数的简单模型），总能量为：

$$E_{\text{ges}}=\frac{m_2{v}^2}{2}-\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$$

$E_{\text{ges}}$ 的正负决定轨道形状：

$E_{\text{ges}}$	含义	轨道
$<0$	物体被束缚	圆 / 椭圆
$=0$	恰好 $v=v_F$	抛物线
$>0$	$v>v_F$	双曲线

✎ 直观地说：总能量为负时，物体「卡」在势阱里绕行；为零时刚好够逃逸；为正时带着剩余速度飞走。这里的圆/椭圆轨道，正是开普勒定律里的轨道。

✎ $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$ 从哪来？ 把引力沿路径累加（积分）即得：$E_{\text{pot}}=\int F_{G}dr=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$。负号表示被束缚的物体比在无穷远处能量更低（取 $r\to \mathrm{\infty }$ 处 $E_{\text{pot}}=0$ 为参考）。

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