目标公式：

$$v=a\cdot t,s=\frac{1}{2}a{t}^2,v=gt,s=\frac{1}{2}g{t}^2,S_v=v\cdot t_R,S_B=\frac{v^2}{2a_B}$$

适用范围/假设： 加速度恒定（$a=\text{konst.}$，大小和方向都不变）；从静止出发（$v_0=0$）、从原点出发（$s_0=0$）；自由落体特例另需忽略空气阻力且 $g$ 在地表附近视为常量；刹车时 $a_B=\text{konst.}$。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$\overline{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsbeschleunigung（平均加速度）	✅ S. 2 („Durchschnittsbeschleunigung")
$\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsgeschwindigkeit（平均速度）	✅ S. 2 („Durchschnittsgeschwindigkeit")
$F=m\cdot a$	Newton'sches Axiom (Aktionsprinzip)（牛顿第二定律）	✅ S. 2 („Newton'sches Axiom")
$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$	Arbeit（功）——用于能量法推导	✅ S. 2 („Arbeit")
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie（动能）——用于能量法推导	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$v=at$，$s=\frac{1}{2}a{t}^2$	匀加速运动方程	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己从 $\overline{a}=\mathrm{\Delta }v/\mathrm{\Delta }t$ 推出（见下）
$S_v=v\cdot t_R$，$S_B={\displaystyle \frac{v^2}{2a_B}}$	反应距离 / 刹车距离	❌ 不在 Formelnheft——考场需现场推

推导（Schritt für Schritt）

A）$v=at$（由平均加速度定义）

1. 写出前提。 设 $a=\text{konst.}$，且 $t=0$ 时 $v_0=0$。（假设前置：没有这两条，下面的化简不成立。）
2. 写出定义。 平均加速度的定义（Formelnheft S. 2）：$$\overline{a}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$
3. 利用 $a$ 恒定。 加速度恒定时，任何时间段上的差商都等于同一个值，即 $\overline{a}=a$。（这是「匀加速」假设的直接含义。）
4. 代入区间。 取从 $0$ 到 $t$ 的区间：$\mathrm{\Delta }v=v-0=v$，$\mathrm{\Delta }t=t-0=t$，故$$a=\frac{v}{t}$$
5. 两边同乘 $t$（代数移项，允许因为 $t>0$）：$$\boxed{{\displaystyle v=a\cdot t}}$$在 $v$-$t$ 图中这是一条过原点、斜率为 $a$ 的直线。

B）$s=\frac{1}{2}a{t}^2$（平均速度法 / v-t 图面积法）

1. 指出困难。 这里 $v$ 不恒定，所以不能直接用 $s=v\cdot t$——必须改用平均速度 $\overline{v}$。
2. 求平均速度。 由 A），$v$ 从 $0$ 线性增长到末值 $v=at$。线性变化的量，其平均值等于首末值的算术平均（直线关于区间中点对称）：$$\overline{v}=\frac{0+v}{2}=\frac{v}{2}=\frac{at}{2}$$
3. 用平均速度套路程公式。 由 $\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$（Formelnheft S. 2），取 $\mathrm{\Delta }s=s-0=s$、$\mathrm{\Delta }t=t$，移项得 $s=\overline{v}\cdot t$。代入第 2 步：$$s=\frac{at}{2}\cdot t$$
4. 整理（合并 $t$ 的幂次）：$$\boxed{{\displaystyle s=\frac{1}{2}a{t}^2}}$$
5. 几何复核（v-t 图面积）。 路程 = $v$-$t$ 图线下面积。这里是一个宽 $t$、高 $v=at$ 的三角形：$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot t\cdot at=\frac{1}{2}a{t}^2✓$$（学过积分者：$s={\int }_0^{t}a{t}^{\prime }\mathrm{d}{t}^{\prime }=\frac{1}{2}a{t}^2$，结果相同。）

C）特例：自由落体（Freier Fall）

1. 指出特例条件。 忽略空气阻力时，地表附近一切物体以同一个恒定加速度 $g$ 下落（重力加速度，Formelnheft S. 1：$g=\mathrm{9,807}$ m/s²）。这正是「$a=\text{konst.}$」的情形。
2. 代换 $a\to g$（A、B 的全部前提都满足，结论照搬）：$$v=g\cdot t,s=\frac{1}{2}g{t}^2$$
3. 算例（独立验算）： 石头下落 $t=2,5$ s：$s=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 2,5^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 6,25\approx 30,7$ m，$v=9,81\cdot 2,5\approx 24,5$ m/s。✓（与讲义主题 5 一致。）

D）反应距离 $S_v=v\cdot t_R$

1. 写出物理情景。 在反应时间 $t_R$（「惊吓秒」，约 1 s）内司机还没有踩刹车，车以恒定速度 $v$ 继续行驶——这是匀速直线运动（$a=0$）。
2. 匀速时差商不变。 $v$ 恒定 ⇒ $\overline{v}=v$，由 $\overline{v}=\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$ 移项：$$\boxed{{\displaystyle S_v=v\cdot t_R}}$$$S_v$ 随 $v$ 线性增长。

E）刹车距离 $S_B={\displaystyle \frac{v^2}{2a_B}}$——双推导

推导一（运动学法）。 刹车是反向的匀加速运动：$a_B=\text{konst.}$，速度从 $v$ 线性减到 $0$。

1. 求刹车时间。 末速度为零：$0=v-a_{B}t$。移项、除以 $a_B$（允许因为 $a_B\ne 0$）：$$t=\frac{v}{a_B}$$
2. 求平均速度。 速度从 $v$ 线性减到 $0$ ⇒ 平均值为首末平均（同 B 第 2 步的理由）：$$\overline{v}=\frac{v+0}{2}=\frac{v}{2}$$
3. 代入路程公式 $S_B=\overline{v}\cdot t$：$$S_B=\frac{v}{2}\cdot \frac{v}{a_B}$$
4. 整理：$$\boxed{{\displaystyle S_B=\frac{v^2}{2a_B}}}$$（等价复核：用 $s=\frac{1}{2}{a}_B{t}^2$ 配 $t=v/a_B$：$S_B=\frac{1}{2}{a}_B\cdot {\displaystyle \frac{v^2}{a_B^2}}={\displaystyle \frac{v^2}{2a_B}}$ ✓）

推导二（能量法）。 同一公式由功-能关系导出——$v^2$ 依赖一目了然。

1. 刹车前的动能（Formelnheft S. 2）：$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$。
2. 刹车功。 刹车力 $F_B=m\cdot a_B$（牛顿第二定律，S. 2），它在路程 $S_B$ 上做功（力与位移反平行，这里只看大小）：$W=F_B\cdot S_B=m{a}_B{S}_B$（Arbeit，S. 2）。
3. 能量平衡。 停下意味着全部动能被刹车功「消掉」（转为热）：$$m{a}_B{S}_B=\frac{1}{2}m{v}^2$$
4. 约掉质量 $m$（两边同除以 $m$，允许因为 $m>0$）——刹车距离与车重无关：$$a_B{S}_B=\frac{1}{2}{v}^2$$
5. 解出 $S_B$（两边除以 $a_B$）：$$\boxed{{\displaystyle S_B=\frac{v^2}{2a_B}}}$$两法结果一致。$S_B\propto v^2$：速度翻倍 → 刹车距离四倍（$(2v{)}^2=4v^2$）。

算例（独立验算，$a_B=7$ m/s²，$t_R=1$ s）： $v=130$ km/h $=130/3,6\approx 36,1$ m/s：

$$S_v=36,1\cdot 1\approx 36\text{m},S_B=\frac{36,1^2}{2\cdot 7}=\frac{1303}{14}\approx 93\text{m},S_{\text{停}}\approx 129\text{m}✓$$

变量表

符号	含义	SI 单位
$a$，$\overline{a}$	（平均）加速度	m/s²
$v$	速度（刹车题中：刹车开始时的速度）	m/s
$v_0$	初速度（此处 $=0$）	m/s
$\overline{v}$	平均速度	m/s
$s$	路程	m
$t$	时间	s
$\mathrm{\Delta }v$，$\mathrm{\Delta }t$，$\mathrm{\Delta }s$	速度/时间/路程的变化量	m/s · s · m
$g$	重力加速度 $=\mathrm{9,807}$ m/s²（Formelnheft S. 1；讲义计算常用 $9,81$）	m/s²
$S_v$	反应距离	m
$t_R$	反应时间（约 1 s）	s
$S_B$	刹车距离	m
$a_B$	刹车加速度（干燥路面约 7–8 m/s²）	m/s²
$m$	车的质量（能量法中出现，最终约掉）	kg
$F_B$	刹车力	N
$E_{\text{kin}}$	动能	J
$W$	功	J

关联

• 能量法用到的 $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$ 的来历 → H02
• 「质量相消」的同款套路（$v=\sqrt{2gh}$）→ H03
• 讲义出处：主题 5 §5.2（$v=at$、$s=\frac{1}{2}a{t}^2$、自由落体）、主题 5 §5.3（$S_v$、$S_B$ 双推导）、主题 8 §8.5（功与动能）