目标公式：

$$\boxed{{\displaystyle Q=\frac{mgd}{U}}},r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2\rho g}},Q=n\cdot e\Rightarrow e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{C}$$

适用范围/假设：

• 平行板电容器内的均匀场：$E=U/d$（板间距 $d$ 远小于板的尺寸）。
• 油滴为微小球体，匀速下沉满足 Stokes 定律（层流、低速、小球）。
• 用油而非水：测量期间不蒸发，$m,r$ 保持不变；忽略空气浮力（讲义 Physik+ 口径）。
• 第 2 阶段读数取匀速下沉段（加速段结束、力平衡建立之后）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$F=E\cdot Q$	Kraft im elektrischen Feld	✅ S. 4 („$F=E\cdot Q$")
$W=\mathrm{\Delta }\phi \cdot Q=U\cdot Q$	elektrische Arbeit/Spannung	✅ S. 4 („$W=U\cdot Q$"，用于推 $E=U/d$）
$F=m\cdot g$	Gewichtskraft	✅ S. 2 („$F=m\cdot g$")
$F_W=6\pi \eta rv$	Stokes-Reibung	✅ S. 2 („Stokes")
$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$	Dichte	✅ S. 2 („$\rho =\frac{m}{V}$")
$V_{\text{球}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$	Kugelvolumen	❌ 数学公式，不在 Formelnheft——需自己写出
$E={\displaystyle \frac{U}{d}}$	均匀场场强	❌ 不在 Formelnheft——两行推出：$W=F\cdot d$（S. 2）与 $W=U\cdot Q$（S. 4）→ $Fd=UQ$ → $E=\frac{F}{Q}=\frac{U}{d}$
$e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C	Elementarladung	✅ S. 1（常数表）

推导（Schritt für Schritt）

第 ① 阶段——悬浮（Schwebephase）

1. 写出悬浮条件（调节电压直到油滴静止：合力为零，向上的电场力恰好等于向下的重力——这是「悬浮」的定义）：$$F_E=F_G$$
2. 代入两个力（左边用 S. 4 的 $F=E\cdot Q$，右边用 S. 2 的 $F=m\cdot g$）：$$Q\cdot E=m\cdot g$$
3. 代入平行板场强 $E=U/d$ 并对 $Q$ 求解（$E=U/d$ 的两行推导见上表；两边除以 $E$）：$$Q=\frac{mg}{E}=\frac{mgd}{U}$$此时还算不出 $Q$：$U,d,g$ 已知，但微小油滴的质量 $m$ 无法直接称量——这正是需要第 ② 阶段的原因。

第 ② 阶段——关掉电场、匀速下沉（Sinkphase）

4. 写出匀速下沉的力平衡（断电后只剩重力，油滴加速下落；Stokes 阻力 $F_W=6\pi \eta rv$ 随 $v$ 增大，直到恰好抵消重力——此后匀速。在匀速段：阻力=重力）：$$6\pi \eta rv=mg$$一个方程、两个未知量（$m$ 和 $r$）→ 需要第二个关系。
5. 用密度把 $m$ 表示成 $r$ 的函数（S. 2 的 $\rho =m/V$ 对 $m$ 反解，球体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$；油的密度 $\rho$ 已知）：$$m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$
6. 代入第 4 步，消去 $m$（现在只剩 $r$ 一个未知量）：$$6\pi \eta rv=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\cdot g$$
7. 两边除以 $\pi$ 和 $r$（$r\ne 0$，允许；右边由 $r^3$ 降为 $r^2$）：$$6\eta v=\frac{4}{3}\rho g{r}^2$$
8. 对 $r^2$ 求解（两边除以 $\frac{4}{3}\rho g$；除以分数=乘以倒数：$\frac{6}{4/3}=6\cdot \frac{3}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$）：$$r^2=\frac{6\eta v}{\frac{4}{3}\rho g}=\frac{9\eta v}{2\rho g}$$
9. 开平方（取正根——半径为正）：$$\boxed{{\displaystyle r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2\rho g}}}}$$右边全是可测/已知量（$\eta ,v,\rho ,g$）→ 得到 $r$，再代回第 5 步得到质量 $m$。

第 ③ 阶段——回代与分析（Auswertung）

10. 把第 ② 阶段的 $m$ 代回第 3 步（现在每个量都已知，单颗油滴的电荷可算）：$$\boxed{{\displaystyle Q=\frac{mgd}{U}}}\text{其中}m=\rho \frac{4}{3}\pi r^3,r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2\rho g}}$$
11. 对大量油滴重复并作图（关键观察：所有 $Q$ 值不均匀铺满数轴，只落在等距的「台阶」上，台阶之间是空白）：$$Q=n\cdot e,n=1,2,3,\dots$$
12. 读出台阶间距 = 基本电荷（若电荷可任意细分，测值应连续分布；分立台阶只能解释为存在最小、不可再分的电荷份额）：$$\boxed{{\displaystyle e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{C}}}(\text{Formelnheft S. 1；讲义取整 }1,6\cdot {10}^{-19})$$结论：电荷是量子化的——任何电荷都是 $e$ 的整数倍。

数量级算例（独立验算，非必背）

典型数据：${\eta }_{\text{Luft}}=1,82\cdot {10}^{-5}$ Pa·s，$v=1,0\cdot {10}^{-4}$ m/s，${\rho }_{\text{Öl}}=900$ kg/m³，$g=\mathrm{9,807}$ m/s²：

• $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{9\cdot 1,82\cdot {10}^{-5}\cdot {10}^{-4}}{2\cdot 900\cdot \mathrm{9,807}}}}=\sqrt{9,28\cdot {10}^{-13}}\approx 9,6\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 1\mu \text{m}$（显微镜可见 ✓）
• $m=900\cdot \frac{4}{3}\pi (9,6\cdot {10}^{-7}{)}^3\approx 3,4\cdot {10}^{-15}$ kg
• 若 $Q=2e$、$d=6$ mm：悬浮电压 $U={\displaystyle \frac{mgd}{Q}}={\displaystyle \frac{3,4\cdot {10}^{-15}\cdot \mathrm{9,807}\cdot \mathrm{0,006}}{\mathrm{3,204}\cdot {10}^{-19}}}\approx 6\cdot {10}^2$ V——数百伏，实验上完全合理 ✓

变量表

符号	含义	SI 单位
$Q$	油滴所带电荷	C
$e$	基本电荷 $=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C（Formelnheft S. 1）	C
$n$	整数（电荷份数）	—
$E$	板间电场强度	V/m = N/C
$U$	板间电压	V
$d$	平行板间距	m
$m$	油滴质量	kg
$g$	引力场强 $=\mathrm{9,807}$ m/s²（Formelnheft S. 1）	m/s²
$\eta$	空气黏度（黏滞系数）	Pa·s
$r$	油滴半径	m
$v$	匀速下沉速度（测量值）	m/s
$\rho$	油的密度（已知材料常数）	kg/m³
$V$	油滴体积	m³
$F_E,F_G,F_W$	电场力 / 重力 / Stokes 阻力	N

关联

• H12——本实验测得的 $e$ 正是 eV↔J 换算的桥梁（$1\text{eV}=e\cdot 1\text{V}$）。
• 主题 4 §4.3——讲义口径：装置图、「为什么用油不用水」「为什么不能在真空中做」、三阶段逐步。
• 主题 14 §14.2——电荷量子化在电学语境中的位置（$Q=n\cdot e$ 与电荷守恒）。