主题 5 — 运动

三种运动形式 · 道路交通物理——全部含计算

章节

Selfcheck / 自测

速率可以不变，为什么圆周运动仍是加速运动？
说出三种运动形式，各给一条标志性公式和一个例子。
匀速运动的 $s$ - $t$ 、 $v$ - $t$ 、 $a$ - $t$ 图分别是什么样？
什么是终极速度？它是怎么形成的？
区分牛顿阻力和 Stokes 阻力。
推导刹车距离 $S_{B} = v^{2} / (2 a_{B})$ 。
为什么速度翻倍时停车距离变三倍（而不是翻倍）？
以 130 km/h 行驶，仅在 1 s 反应时间内走多远？
为什么 $a_{B}$ 几乎与汽车质量无关？它的上限由什么决定？
为什么雨滴从 2 km 高的云层落下却不致命？
在月球上同时放开锤子和羽毛，会发生什么？为什么？

§§ANTWORTEN

因为方向变化也是加速度： $\vec{a} = Δ \vec{v} / Δ t$ ， $\vec{v}$ 方向不断改变，所以即使速率不变也在加速。(§5.1)
匀速（ $\vec{a} = 0$ ， $v = s / t$ ；定速巡航的汽车）；匀加速（ $a =$ 常量， $v = a t$ ， $s = \frac{1}{2} a t^{2}$ ；自由落体）；非匀加速（ $a$ 随时间变化；有空气阻力的下落）。(§5.2)
$s$ - $t$ 图为上升直线（斜率 $= v$ ）； $v$ - $t$ 图为水平线； $a$ - $t$ 图恒为零。(§5.2)
当阻力与重力相互抵消、 $a = 0$ 时达到的恒定速度。由于阻力随 $v$ 增大， $a$ 不断减小，直到达到此平衡。(§5.2)
牛顿阻力 $F_{R} \propto v^{2}$ （高速、湍流）；Stokes 阻力 $F_{R} \propto v$ （低速、层流、小物体）。(§5.2)
由 $s = \frac{1}{2} a_{B} t^{2}$ 与刹车时间 $t = v / a_{B}$ ，代入得 $S_{B} = \frac{1}{2} a_{B} (v / a_{B})^{2} = \frac{v^{2}}{2 a_{B}}$ 。(§5.3)
因为只有反应距离 $S_{v} = v t_{R}$ 随 $v$ 线性增长，而刹车距离 $S_{B} = v^{2} / (2 a_{B})$ 是平方增长——两者之和变三倍（如 28 m → 84 m）。(§5.3)
$v = 130 / 3, 6 \approx 36, 1$ m/s， $S_{v} = v t_{R} \approx 36$ m——还没踩刹车就已驶过约 36 m，比多数人的直觉远得多。(§5.3)
因为刹车力的上限是轮胎—路面的静摩擦 $F_{B, max} = μ m g$ ；代入 $F = m a$ 得 $a_{B, max} = μ g$ ——质量约掉了。上限由摩擦系数 $μ$ （路面状况、轮胎）决定。(§5.3)
因为空气阻力随 $v$ 增大，直到与重力平衡（ $a = 0$ ），雨滴以终极速度约 7–9 m/s 落地；若无空气阻力它将以 $\sqrt{2 g h} \approx 200$ m/s 砸下。(§5.2)
两者同时落地（Apollo 15，1971 年实地演示）：月球没有大气、没有空气阻力，所有物体都以相同的 $g_{月} \approx 1, 62$ m/s² 自由下落。(§5.2)