9.2a 玻尔原子模型与氢光谱

来源： Mappe S. 95 · ➕ 考纲

§9.2 只说有离散能级；尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）于 1913 年给出第一个能让这些能级首次可计算的模型——以最简单的原子、即氢原子（1 个质子、1 个电子）为对象。

玻尔原子模型（Bohr'sches Atommodell，1913）

玻尔通过两条假设（Postulate），把行星式原子图像（电子绕核运行）与量子化（§9.1）结合起来：

1. 电子只在某些离散的轨道（Bahnen / 壳层 Schalen）上运动——而非任意轨道。在这些允许的轨道上，电子（与经典电动力学相反）不辐射能量，状态是稳定的（定态）。
2. 能量只在两轨道之间跳跃时才交换——以一个光子的形式（$\mathrm{\Delta }E=hf$，正是 §9.2 的发射/吸收）。这样的跃迁称为量子跃迁（Quantensprünge）。

每条轨道带一个整数，即主量子数 $n$（Hauptquantenzahl）（$n=1,2,3,\dots$）：$n=1$ 是最内、能量最低的轨道（基态 Grundzustand），$n$ 越大轨道越靠外、能量越高（激发态 angeregte Zustände）。

✎ 为什么叫「壳层」？ 轨道并非等间距，而是越往外越密；$n$ 大到一定程度电子就近乎自由（原子电离 ionisiert）。每条允许轨道有固定能量 $E_n$——因此 §9.2 的离散能级正是玻尔的轨道。

里德伯公式（Rydberg-Formel）——氢谱线的波长

约翰内斯·里德伯（Johannes Rydberg）（先于玻尔、纯经验地）找到一条能给出氢的全部谱线的公式；玻尔模型随后从理论上给出了依据：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})}},n_2>n_1$$

符号	含义	单位
$\lambda$	谱线波长	m
$R$	里德伯常数（Rydberg-Konstante） $=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7$	${\mathrm{m}}^{-1}$
$n_1$	较低轨道（目标能级）的主量子数	—
$n_2$	较高轨道（起始能级）的主量子数	—

✎ 发射时电子从 $n_2$（高）落到 $n_1$（低）——释放的能量化为光子。吸收时反向进行；公式给出同样的谱线。

五大谱线系（Linienserien）

每个固定的目标能级 $n_1$ 汇成一整个谱线系（Serie）（所有 $n_2=n_1+1,n_1+2,\dots$ 的跃迁）：

谱系	$n_1$	光谱区	意义
莱曼系 Lyman	1	紫外（UV）	落到基态的跃迁，能量高
巴尔末系 Balmer	2	可见光	最重要的谱系——唯一落在可见光中
帕邢系 Paschen	3	红外（IR）	能量较低
布拉开系 Brackett	4	红外（更远）	—
普丰德系 Pfund	5	红外（更远）	—

只有巴尔末系（$n_1=2$）落在可见光区——所以它在历史上和教学中都是核心：它正是肉眼/学校分光镜下能看到的氢的彩色谱线（红、蓝绿、紫）。

计算示例：红色 $H_{\alpha }$ 谱线（巴尔末系）

最亮的巴尔末线是 $n_2=3$ 跃到 $n_1=2$ 的跃迁（记作 $H_{\alpha }$）。波长是多少？

1. ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=R({\displaystyle \frac{1}{2^2}}-{\displaystyle \frac{1}{3^2}})=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{9}})=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7\cdot {\displaystyle \frac{5}{36}}$
2. ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7\cdot \mathrm{0,138}9\approx \mathrm{1,524}\cdot {10}^6{\mathrm{m}}^{-1}$
3. $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,524}\cdot {10}^6}}\approx 6,56\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 656\text{nm}$ —— 红光 ✓

$H_{\alpha }$ 谱线（$\approx 656$ nm）是氢特有的红色（例如宇宙中许多发光星云的红色）。验算：$656$ nm 落在红光区（$\sim 1,9$ eV），与较小的跃迁 $3\to 2$ 相符。

✎ 玻尔模型有多准？ 它是半经典的（halbklassisch）（一条经典圆轨道，人为加上一个量子化条件），并且严格说只描述氢原子（单电子）。它无法解释精细结构、谱线强度或多电子原子，后来被量子力学（薛定谔，§9.3a）取代——那里不再有轨道，而是轨道函数（Orbitale，出现概率）。但值得注意的是：玻尔模型能正确算出氢谱线——其图像直观到足以给里德伯公式提供依据，尽管底层图像（粒子绕圈运行）是错的。