5.1 基本概念

来源： 考纲 §5 · 课堂笔记 §4.3.1–§4.3.2

速度

为什么要取极限？ 速度直观上是「单位时间走的路」。但在一段较长的时间里，算出来只是平均速度——中间所有快慢变化都被平均掉了。要知道物体恰好在这一瞬间有多快，就必须把时间间隔取得越来越小。

1. 一段有限时间内的平均速度：$\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$。$\mathrm{\Delta }s\dots$ 走过的路；$\mathrm{\Delta }t\dots$ 所用时间。
2. $\mathrm{\Delta }t$ 越小，平均值里掺进的快慢变化就越少——$\overline{v}$ 就越精确地等于该点的速度。
3. 取极限 $\mathrm{\Delta }t\to 0$：差商 $\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$（两个有限差值之比，即「路程差除以时间差」）变成微商（导数），这就是瞬时速度：

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{ds}{dt}$$

所以速度 $v$（矢量 $\overrightarrow{v}$，单位 m/s）既有大小又有方向。${\displaystyle \frac{ds}{dt}}\dots$ 该点处 $s$-$t$ 曲线的斜率（切线斜率）。直观地说：瞬时速度就是 $s$-$t$ 曲线切线的斜率。

加速度

为什么需要它？ 运动很少是匀速的——$v$ 时刻在变。衡量这种变化的量就是加速度 $a$（矢量 $\overrightarrow{a}$，单位 m/s²）：单位时间内速度的变化。

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}\stackrel{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\to }\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}\dots$ 速度变化量；$\mathrm{\Delta }t\dots$ 发生这一变化所用的时间。正如 $v$ 是 $s$-$t$ 曲线的斜率，$a$ 就是 $v$-$t$ 曲线的斜率。

注意：$\overrightarrow{v}$ 是矢量——只要方向改变（即使大小不变），它就已经变了。所以方向变化也是一种加速度。因此任何曲线运动（如圆周运动）都是加速运动，即使速率不变——对应的力就是向心力。

算例： 一架航天飞机（平均加速度 30 m/s²）要达到轨道速度 7700 m/s：

$$t=\frac{v}{a}=\frac{7700}{30}\approx 257\text{s}\approx 4,3\text{min}$$