主题 11 — 引力物理

牛顿引力 · 开普勒定律 · 广义相对论 · 引力波 · 黑洞

提示： 宇宙观之争（亚里士多德 → 开普勒 → 爱因斯坦）见主题 7；航天计算（圆轨道、地球同步、逃逸速度）见主题 2。

章节

• 11.1 牛顿经典引力理论
• 11.2 引力场强 $g$
• 11.3 卡文迪许实验——测定 G
• 11.4 开普勒三定律
• 11.5 广义相对论（爱因斯坦 1915）
• 11.6 广义相对论的三大效应
• 11.7 黑洞

Selfcheck / 自测

1. 解释牛顿的山顶大炮——背后是什么统一？
2. 写出万有引力定律。$r$ 指什么？距离如何起作用？
3. 推导 $g=GM/r^2$。为什么在月球上体重是六分之一？
4. 陈述开普勒三定律。为什么行星在近日点更快？
5. 由「向心力 = 引力」推导开普勒第三定律。
6. 等效原理说的是什么？由它如何推出光偏折？
7. 「引力 = 空间弯曲」是什么意思？
8. 说出广义相对论的三大效应，各给一个验证。
9. 定义事件视界和史瓦西半径（$R=2GM/c_0^2$）。粗略算地球的。
10. 既然看不见黑洞，如何探测它？
11. 为什么月球潮汐在地球两侧各有一个突起？
12. 史瓦西半径的牛顿式推导在什么意义上只是启发式的？
13. 黑洞质量越大，平均密度是越大还是越小？为什么？
14. 若把引力突然「关掉」，开普勒第二定律还成立吗？
15. 为什么说 ART 是一门**「klassische」**理论？追问 „Ist die ART falsch?" 该怎么回答？
16. 描述打孔水瓶演示：扔下后水为什么不再流出？它与爱因斯坦 1907 年「最幸福的念头」有什么关系？
17. 若太阳突然变成黑洞，地球轨道会怎样？2008 年针对 LHC 的诉讼为什么物理上不成立？
18. 勾勒从亚里士多德到爱因斯坦的宇宙观年表。什么是本轮（Epizykel）？它本来要解决什么问题？
19. 卡文迪许靠哪两个技巧测出了 $G$？解释光杠杆（Lichtzeiger）与平行测量（Parallelmessung）。
20. 就 GW150914 事件，说出波源、两个探测站、频率（约 ?–? Hz）、距离和诺贝尔奖。为什么需要两个站？
21. 什么是意大利面化（Spaghettisierung）？它由哪种力造成？为什么小黑洞在视界外就把你撕碎，超大质量黑洞却不会？

§§ANTWORTEN

1. 从山上扔石头走抛物线落地；扔得足够快，轨迹弯成轨道。统一之处：下落与绕行同源，都是引力（天上 = 地上）。(§11.1)
2. $F_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$。$r$ 是两质心间距（不是表面）；力按 $1/r^2$ 衰减（距离翻倍 → 力变四分之一）。(§11.1)
3. 由 $mg=G\frac{Mm}{r^2}$，试探质量约掉 → $g=\frac{GM}{r^2}$。月球的 $M$ 小得多，故 $g_{\text{月}}\approx \frac{1}{6}{g}_{\text{地}}$——体重只有六分之一，但质量不变。(§11.2)
4. 一：椭圆轨道、太阳在焦点；二：矢径在相等时间扫过相等面积；三：$\frac{T^2}{a^3}=$ 常量。近日点更快是因为角动量守恒 $L=mvr=$ 常量。(§11.4)
5. 向心力 = 引力：$\frac{m{v}^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}\Rightarrow v^2=\frac{GM}{r}$。代入 $v=\omega r$、$\omega =2\pi /T$ 得 $\frac{4{\pi }^2{r}^3}{T^2}=GM$，即 $\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}}}$。(§11.4)
6. 加速与在引力场中静止无法区分。加速电梯里光束被弯曲 → 既然加速 ≡ 引力，光在引力场中必定也被偏折。(§11.5)
7. 引力不是吸引力，而是质量造成的时空弯曲；物体沿弯曲空间里的「直线」（测地线）运动。(§11.5)
8. 水星近日点进动（经典无法解释，广义相对论能）；光偏折（1919 年爱丁顿、日食）；引力波（间接为赫尔斯-泰勒脉冲星，直接为 LIGO 2015）。(§11.6)
9. 事件视界处 $v_F=c_0$——视界内一切（连光）都无法逃出。史瓦西半径由 $c_0^2=\frac{2GM}{R}$ 得 $R=\frac{2GM}{c_0^2}$；地球约 $R\approx 9$ mm。(§11.7)
10. 间接地通过发光的吸积盘（坠入物质升温、发出电磁辐射）或事件视界的暗影（M87* 照片，EHT 2019），以及引力透镜/爱因斯坦环。(§11.7)
11. 近月侧：月球引力最强，海水被拉向月球；背月侧：地月共同绕质心旋转，那里离心效应最强，海水被甩向外——两个突起大致一样高。地球自身引力虽更强，但处处均匀；潮汐恰恰来自月球作用的不均匀。(§11.2)
12. 它用牛顿动能 $\frac{m{v}^2}{2}$、把光当作有质量的抛体——但光无静质量，且 $v\approx c$ 已超出牛顿力学的适用范围。严格结果是史瓦西 1916 年从爱因斯坦场方程得到的精确解；牛顿式推导恰好给出相同公式，是幸运的巧合。(§11.7)
13. 越大密度越小：$\rho =\frac{3c_0^6}{32\pi G^3{M}^2}\propto 1/M^2$（$R\propto M$ → 体积 $\propto M^3$，而质量只 $\propto M$）。(§11.7)
14. 成立。行星沿直线匀速飞走，相等时间走过等长线段，以太阳为顶点的三角形等底同高 → 面积相等。面积定律只是角动量守恒的几何表述，与椭圆轨道无关。(§11.4)
15. Klassisch = 非量子（keine Quantentheorie）：ART 是连续的时空场论，与量子论的统一至今失败。对 „falsch?"：„Falsch heißt nicht, dass alles falsch wäre — die klassische Mechanik ist in dem Sinn genauso falsch"——理论 = 适用范围；ART 在其范围内被极精确证实，在奇点处失效。(§11.5)
16. 静止时静水压把水从孔里压出；自由落体中整瓶失重、静水压为零 → 水不再流出。它演示「自由落体 ≡ 失重」——正如那位从屋顶坠落、感觉不到自身重量的柏林 Dachdecker，让爱因斯坦得到 „der glücklichste Gedanke meines Lebens"（1907），由此诞生等效原理。(§11.5)
17. „Nichts! Gleiche Masse, gleiche Umlaufbahn."——引力只取决于质量与距离（壳层定理），黑洞不会「吸走一切」，只是 8 分钟后天黑变冷。LHC 诉讼不成立：宇宙射线以更高能量轰击地球数十亿年安然无恙；微型黑洞经霍金辐射约 ${10}^{-26}$ s 即蒸发。(§11.7)
18. 亚里士多德（地心说）→ 托勒密（本轮 Epizykel）→ 哥白尼（日心说）→ 开普勒（椭圆）→ 牛顿（引力）→ 爱因斯坦/广相（空间弯曲）。本轮=行星运行所在的小圆，其圆心又沿一个大圆（均轮 Deferent）绕地球转；它要在地心框架下挽救观测到的逆行（行星画圈）。日心说把同样的圈解释得更简单，开普勒的椭圆则让本轮变得多余。(§11.1；详见主题 7)
19. ① 光杠杆（镜子放大法）：扭丝上的镜子把光束反射到远处刻度尺；微小转角 $\alpha$ 在光学上加倍（$2\alpha$），再经长距离放大成可读的偏移。② 平行测量：用已知的力、或借扭摆的振动周期标定扭丝（扭转刚度 $D$），于是引力造成的偏移就能直接换算出微小力 $F_G$。(§11.3；详见主题 4)
20. GW150914（2015-09-14）：波源=两个黑洞并合（约 36 + 29 $M_{\odot }$）；探测站=汉福德 Hanford 与利文斯顿 Livingston（相距约 3000 km）；频率 约 35 → 250 Hz（啁啾）；距离 约 13 亿光年；2017 年诺贝尔物理学奖（Weiss/Barish/Thorne）。需要两个站，是因为只有两个相距遥远的探测器同时出现（约 7 ms 时间差）的符合信号才能把真正的波与本地干扰区分开。探测器类型：迈克尔逊干涉仪，两臂各长 4 km。(§11.6)
21. 意大利面化：极强的潮汐力（=引力之差，$F_G\propto 1/r^2$，脚受力远大于头）把身体径向拉长、横向压扁 → 拉成「面条」。对小黑洞，潮汐力在视界之外很远就已致命；对超大质量黑洞，巨大视界处的梯度十分温和，可以毫发无损越过视界。(§11.7；参见潮汐力，主题 3)