4.2 卡文迪许实验（Cavendish，1798）

来源： 考纲 §4 · 课堂笔记 §7.3.4

问题： 引力常数 $G$ 有多大？

背景： 牛顿知道引力定律 $F_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$，却始终没测出 $G$。✎ 最早的粗略测定是通过山对摆的偏转：在山上，摆并不完全竖直，而是略偏向山（被山的质量吸引）——由此粗略估算出 $G$ 或地球质量。直到卡文迪许才在实验室精确测出 $G$。（顺带一提，他本来的目标是测定地球的密度——引力常数是随之得到的。）

装置（扭秤）： 两个小球装在一根水平杆两端，杆用细丝悬挂。把两个大球靠近；其引力吸引小球 → 杆转动 → 丝被扭转。

卡文迪许装置手绘草图。

镜子的妙用： 杆上装一面镜子，把光束投到远处的墙上。杆的微小转动因此变成光点的大幅移动——否则运动根本看不见。（几何上是个等腰三角形：镜子处小角度 → 墙上大位移。）✎ 此外镜子还使待测角加倍：镜子转过 $\mathrm{\Theta }$，反射光束就转过 $2\mathrm{\Theta }$（反射定律）——更容易测。一个转台可在镜像位置做第二次测量 → 扭转角加倍 → 精度更高。

图：卡文迪许扭秤——横杆两端的小球被两个大球吸引；光束在镜子上反射。

图：等腰三角形几何（镜子 → 墙）——镜子处的微小角度变化变成光点的大幅位移。

物理： 小球不会无限靠近，因为被扭转的丝产生回复性的胡克力（弹性体被形变后产生的回复力，其大小与形变量成正比——这里即与丝的扭转角成正比）阻止转动。平衡时：

$$F_H=F_G$$

平行测量： 卡文迪许另外用弹簧秤标定细丝（多大的力把它扭多大角度）→ 得到 $F_H$ 关于角度的函数。由于胡克力是线性的，他可以用大角度测量再外推到小角度。

图：平行测量的 $F_H(\alpha )$ 图——线性直线，因此可外推到小角度。

✎ 真正的难点在哪里？ 两球之间的引力极其微小（量级 ${10}^{-7}$ N——远小于一粒沙的重量）。任何气流、震动乃至微小的温差（引起空气对流！）都会把它淹没。所以卡文迪许把装置封进密闭箱子，在外面用望远镜读数。镜子的妙用与转台正是对这一难题的回应：让一个极弱的信号变得可见、可复测。

分析逐步推导

✎ 这里展示如何从平衡式 $F_H=F_G$ 把 $G$ 解出来——源材料里只给了结果的这一步。

第 1 步——卡文迪许知道什么、要求什么。 通过平衡，两球间的引力可测：$F_G=F_H$，而 $F_H$ 由弹簧秤标定已知。质量 $m_1,m_2$（小球与大球）及其间距 $r$ 也已知。唯一未知的就是引力常数 $G$。

第 2 步——写出引力定律。 两球间的吸引力为：

$$F_G=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$

第 3 步——对 $G$ 求解。 要把 $G$ 单独留在一边：两边同乘 $r^2$、再除以 $(m_1{m}_2)$：

$$G=\frac{F_G\cdot r^2}{m_1\cdot m_2}$$

第 4 步——代入测量值。 右边各量均已测得 → 算出 $G$：

$$G\approx \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$$

符号	含义	单位
$F_G$	测得的引力（平衡时 $=F_H$）	N
$m_1,m_2$	小球与大球的质量	kg
$r$	两球球心间距	m
$G$	待求的引力常数	N·m²/kg²

从 $G$ 到地球质量。 有了 $G$，就能把引力定律「反过来」用：在地表，对一个质量为 $m$ 的试验体，重力为 $mg=G{\displaystyle \frac{M_{E}m}{R_E^2}}$。试验质量 $m$ 约掉，再用可测的 $g$ 和已知的地球半径 $R_E$，首次得到地球质量：

$$M_E=\frac{g\cdot R_E^2}{G}$$

所以这个实验也叫「称量地球」。