2.4 逃逸速度

来源： 考纲 §2 · 课堂笔记 §7.7

定义

逃逸速度（Fluchtgeschwindigkeit） $v_F$ 是物体在天体表面永远摆脱其引力场所需的速度。

精确地说：若物体以恰好 $v_F$ 出发，则经过无限长时间、在无限远处，速度恰好变为 0。也就是说它会越来越慢，但只要还在场中就永不真正停下。

图：黑板草图——物体在左侧以 $v=v_F$ 出发，在飞向无穷远（$r\to \mathrm{\infty }$）的途中被引力不断减速，直到 $v=0$。

逃逸速度手绘草图。

飞行动力学

出发时物体有大量动能。上升过程中引力反向作用 → 它变慢。由于引力随距离减小，减速也越来越小。

用能量守恒逐步推导

复习（6 年级）：总能量是动能与势能之和，且守恒（见能量守恒）：

$$E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\frac{m\cdot v^2}{2}+m\cdot g\cdot h$$

符号	含义	单位
$m$	飞船质量	kg
$v$	瞬时速度	m/s
$h$	离出发点的高度	m
$g$	重力加速度（地表约 $9,81$）	m/s²

第 1 步——考察两个「极端状态」。 我们比较出发与到达，因为两处的总能量相等。

• 出发时（$h=0$）： 飞船有最大动能，而（用简单模型）$E_{\text{pot}}=0$。于是全部能量都在运动中：

$$E_{\text{ges}}=\frac{m\cdot v_F^2}{2}$$

• 无穷远处（$r\to \mathrm{\infty }$）： 按定义飞船在那里以 $v=0$ 到达 → $E_{\text{kin}}=0$。全部能量现在都在位置（势能）中：

$$E_{\text{ges}}=m\cdot g\cdot h$$

第 2 步——运用能量守恒（令相等）。 因为总能量守恒，出发能量＝到达能量：

$$\frac{m\cdot v_F^2}{2}=m\cdot g\cdot h$$

第 3 步——约掉飞船质量 $m$。 $m$ 在两边都有 → 除以 $m$（质量再次无关）：

$$\frac{v_F^2}{2}=g\cdot h$$

第 4 步——把 2 乘过去。 两边同乘 2，使左边只剩 $v_F^2$：

$$v_F^2=2\cdot g\cdot h$$

第 5 步——把 $g$ 与 $h$ 换成「真正」的量。 在表面 $g={\displaystyle \frac{G\cdot M}{r^2}}$（由 $F_G=mg$ 与引力定律得到），并取 $h=r$（上升一个行星半径的距离）。代入：

$$v_F^2=2\cdot \frac{G\cdot M}{r^2}\cdot r$$

第 6 步——约掉一个 $r$。 ${\displaystyle \frac{r}{r^2}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$：

$$v_F^2=\frac{2\cdot G\cdot M}{r}$$

第 7 步——开平方：

$$\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{r}}}}$$

符号	含义	单位
$v_F$	表面逃逸速度	m/s
$G$	引力常数	N·m²/kg²
$M$	中心天体质量	kg
$r$	中心天体半径（球心 → 出发点）	m

记忆：$v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{圆}}$——逃逸速度恰好是同高度圆轨道速度的 $\sqrt{2}$ 倍。

✎ 为什么恰好是 $\sqrt{2}$？ 把两条公式并排看：圆轨道 $v_{\text{圆}}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$（§2.2 第 3 步），逃逸 $v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$（§2.4 第 6 步）。唯一的区别就是根号下的因子 2。两式相除，${\displaystyle \frac{GM}{r}}$ 消去，剩 ${\displaystyle \frac{v_F^2}{v_{\text{圆}}^2}}=2$，即 $v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{圆}}$。

数值： 地球 $v_F\approx 11,2$ km/s；月球 $v_F\approx 2,4$ km/s。

✎ 地球的逃逸速度（$v_F\approx 11,2$ km/s）又叫 第二宇宙速度（zweite kosmische Geschwindigkeit） —— 即彻底摆脱地球引力场所需的速度（对比第一宇宙速度 $\approx 7,9$ km/s 只是绕行）。它约为第一宇宙速度的 $\sqrt{2}$ 倍。

✎ 关于这条推导里的"简化"。 上面用了 $E_{\text{pot}}=mgh$（把 $g$ 当常数）再代入 $h=r$。严格说，$g$ 在升到无穷远的过程中并非常数，按理不能直接这么用。这里之所以仍给出正确的结果，是因为用表面的 $g={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$ 乘以 $h=r$ 得到的 ${\displaystyle \frac{GM}{r}}$，恰好等于用精确变力势能算出的能量差 $\left|\mathrm{\Delta }{E}_{\text{pot}}\right|={\displaystyle \frac{GMm}{r}}$（见 §2.5 的 $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$）。想严谨地推，可直接令"表面总能量 = 0"：${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_F^2-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}=0$，立刻得到同一条 $v_F=\sqrt{2GM/r}$。

✎ 追问：为什么发射场都尽量靠近赤道、并向东发射？（如卡纳维拉尔角、库鲁）地球自西向东自转（所以太阳东升西落），地面本身就带着向东的速度——在赤道处最大，约 ${\displaystyle \frac{2\pi R_E}{T}}\approx 0,46$ km/s。向东发射就能把这份速度当「免费的首付」带上，省下燃料；越靠近两极，地面转得越慢，这份红利越小。

✎ 追问：若某天体表面的 $v_F$ 超过光速 $c_0$ 会怎样？ 连光也逃不出去——这正是黑洞的定义。把 $v_F=c_0$ 代入本节公式即得史瓦西半径 $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$（详见 Thema 11 §11.7 黑洞）。