主题 2 — 航天物理

三类计算题：圆轨道卫星 · 地球同步卫星 · 逃逸速度

主线： 三类题都基于同一个思想——引力提供所需的**向心力**。理解了这一点，三条公式都能自己推出来。

章节

• 2.1 预备：什么是向心力？
• 2.2 圆轨道卫星
• 2.3 地球同步卫星
• 2.4 逃逸速度
• 2.5 由总能量决定的轨道形状

Selfcheck / 自测

1. 引力一直作用在卫星上，它为什么不「掉下来」？
2. 推导 $v=\sqrt{GM/r}$。为什么卫星质量不起作用？
3. 公式里的 $r$ 到底指什么？常见的错误是什么？
4. 说出地球同步卫星的三个条件。
5. 为什么用恒星日（23 时 56 分）而不是 24 小时来计算？
6. 精确地定义逃逸速度（「在无穷远处」会发生什么）？
7. $v_F$ 与圆轨道速度有什么关系？
8. 总能量如何决定是圆、抛物线还是双曲线轨道？
9. 为什么地球同步卫星只能在赤道上空？「悬停」在维也纳上空的卫星为什么不可能？
10. ISS 上的宇航员是「失重」的——那里没有引力吗？
11. 低轨卫星被大气摩擦减速后，为什么观测到它反而变快？
12. 只知道卫星的轨道高度和速度，能算出它的质量吗（艾森豪威尔之问）？
13. GPS 卫星是地球同步卫星吗？它运行在什么轨道（高度、周期）？为什么不做成同步的？

§§ANTWORTEN

1. 它确实一直在下落，但速度太快，地球在它下方以同样速度弯曲离开，于是永远「错过」地面。引力恰好提供所需的向心力（$F_{\text{ZP}}=F_G$）。(§2.2)
2. 由 $\frac{m{v}^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}$ 约掉卫星质量 $m$ → $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$。质量不起作用，因为它在等式两边都出现——同一轨道上任何卫星速度相同。(§2.2)
3. $r$ 是从中心天体球心算起的轨道半径，即地球半径 + 飞行高度。常见错误：只代入飞行高度。(§2.2)
4. 周期为一个恒星日、轨道在赤道上空、运行方向与地球自转方向一致。(§2.3)
5. 恒星日是地球相对恒星转一整圈；「始终在同一地球点上方」看的是这个真正的自转。太阳日（24 小时）更长，因为地球同时在绕太阳公转。(§2.3)
6. 是永远摆脱引力场所需的速度：物体以恰好 $v_F$ 出发，经无限长时间、在无限远处速度恰好变为 0。(§2.4)
7. $v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{圆}}$——逃逸速度是同高度圆轨道速度的 $\sqrt{2}$ 倍（根号下多了因子 2）。(§2.4)
8. 由 $E_{\text{ges}}=\frac{m{v}^2}{2}-\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$ 的正负决定：$E_{\text{ges}}<0$ → 束缚（圆/椭圆）；$E_{\text{ges}}=0$ → 抛物线（$v=v_F$）；$E_{\text{ges}}>0$ → 双曲线（$v>v_F$）。(§2.5)
9. 引力指向地心，向心力必须指向轨道圆心 → 轨道平面必须过地心。绕维也纳纬度圈的小圆，其圆心在地轴上而非地心——引力提供不了这种力；倾斜的过地心轨道则会每天南北摆动。唯一不动的解：赤道平面轨道。(§2.3)
10. 有引力——400 km 高度仍约为地表的 $89\mathrm{\%}$。「失重」是因为宇航员与空间站一起处于自由落体（绕行 = 永远落不到地面的下落），不是因为没有引力。(§2.2)
11. 摩擦使总能量减小 → 轨道变低 → 由 $v=\sqrt{GM/r}$，$r$ 小则 $v$ 大：下落释放的势能多于摩擦消耗，盈余成为动能。(§2.2)
12. 不能——卫星质量 $m$ 在 $F_{\text{ZP}}=F_G$ 两边约掉，轨道数据不含质量信息；质量只能通过相互作用（如碰撞 + 动量守恒）测定。(§2.2)
13. 不是——GPS 卫星运行在中地球轨道（MEO），高度约 20 200 km、周期约 12 小时，并不静止。不做成同步的，是因为定位需要来自不同方向的多颗卫星（几何条件好、两极无盲区）。(§2.3)