目标公式：

$$\boxed{{\displaystyle g=\frac{GM}{r^2}}}\Rightarrow M_E=\frac{g{R}_E^2}{G}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{kg}$$

适用范围/假设：

• $M$ 为球对称质量分布（壳层定理：球对称质量在外部的引力场与全部质量集中在球心等同——这正是允许用「到质心的距离」$r$ 的理由）。
• $r$ 从质心起算，且 $r\ge$ 天体半径（外部场）。
• 牛顿引力适用（弱场）；忽略自转离心效应（地表 $g$ 的微小纬度差异即来自它）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$F=m\cdot g$	Gewichtskraft	✅ S. 2 („$F=m\cdot g$")
$F_G=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$g={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$	Gravitationsfeldstärke	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己推出（即本推导，两行即可）

推导（Schritt für Schritt）

1. 对地表一个试探质量 $m$ 写出两种「同一个力」的表达（重力 $F=mg$ 与引力定律描述的是同一个力——令其相等是物理等同，不是近似）：$$m\cdot g=G\frac{M\cdot m}{r^2}$$
2. 约去试探质量 $m$（两边均为 $m$ 的一次方且 $m\ne 0$；物理含义：$g$ 与试探质量无关，它是场的属性而非物体的属性——这正是真空中一切物体等速下落的原因）：$$\boxed{{\displaystyle g=\frac{GM}{r^2}}}$$$g$ 称引力场强（Ortsfaktor，单位 m/s² 或等价的 N/kg）：$M$ 是产生场的质量，$r$ 是到其质心的距离。

「称量地球」：Cavendish 测得 $G$ 之后 ★

牛顿不知道 $G$ 的数值。1798 年卡文迪许用扭秤首次测出 $G$（装置见主题 4 §4.2）——此前 $g$ 和 $R_E$ 早已知道，缺的只是 $G$：

3. 把第 2 步对 $M$ 反解（两边同乘 $\frac{r^2}{G}$；取 $r=R_E$，即地表）：

   $$M_E=\frac{g{R}_E^2}{G}$$

4. 代入数值验算（全部取自 Formelnheft S. 1：$g=\mathrm{9,807}$ m/s²，$R_E=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m，$G=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg²）：

   • $R_E^2=(\mathrm{6,371}\cdot {10}^6{)}^2=\mathrm{4,059}\cdot {10}^{13}{\text{m}}^2$
   • $g{R}_E^2=\mathrm{9,807}\cdot \mathrm{4,059}\cdot {10}^{13}=\mathrm{3,981}\cdot {10}^{14}$
   • $M_E={\displaystyle \frac{\mathrm{3,981}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}}}\approx 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{kg}$ ✓

   验算：与 Formelnheft S. 1 的 $M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg 一致（偏差 <0,2%，来自数值取整与 $g$ 含自转效应）。所以说卡文迪许「称量了地球」——他本人的目标正是定出地球密度，顺带定出了 $G$。

月球上的 $g\approx 1,62$ m/s²——比值法

5. 对月球套用同一公式并与地球作比（比值法的好处：$G$ 约去，只剩质量比与半径比；月球数据 $M_M=7,35\cdot {10}^{22}$ kg、$R_M=1,74\cdot {10}^6$ m 来自讲义，不在 Formelnheft）：$$\frac{g_M}{g_E}=\frac{G{M}_M/R_M^2}{G{M}_E/R_E^2}=\frac{M_M}{M_E}\cdot {\left(\frac{R_E}{R_M}\right)}^2$$
6. 代入数值：
   • ${\displaystyle \frac{M_M}{M_E}}={\displaystyle \frac{7,35\cdot {10}^{22}}{\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}}=\mathrm{0,012}3$
   • ${\left({\displaystyle \frac{R_E}{R_M}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{6,371}}{1,74}}\right)}^2=3,{66}^2=13,4$
   • ${\displaystyle \frac{g_M}{g_E}}=\mathrm{0,012}3\cdot 13,4=\mathrm{0,165}\approx {\displaystyle \frac{1}{6}}$
   $$g_M=\mathrm{0,165}\cdot \mathrm{9,807}\approx 1,62\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx \frac{1}{6}{g}_E✓$$（直接代 $g_M=G{M}_M/R_M^2=\frac{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot 7,35\cdot {10}^{22}}{(1,74\cdot {10}^6{)}^2}=1,62$ m/s²，两法一致。）在月球上体重只有六分之一——质量不变。

变量表

符号	含义	SI 单位
$g$	引力场强（地点因子）；地表 $g=\mathrm{9,807}$ m/s²（Formelnheft S. 1）	m/s² = N/kg
$m$	试探质量（推导中约去）	kg
$M$	产生场的（中心）质量	kg
$r$	到 $M$ 质心的距离	m
$G$	引力常数 $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$（Formelnheft S. 1）	N·m²/kg²
$M_E$	地球质量 $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg（Formelnheft S. 1）	kg
$R_E$	地球半径 $=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m（Formelnheft S. 1）	m
$M_M$	月球质量 $=7,35\cdot {10}^{22}$ kg（讲义值，不在 Formelnheft）	kg
$R_M$	月球半径 $=1,74\cdot {10}^6$ m（讲义值，不在 Formelnheft）	m

关联

• H07——同一套路「令两个力相等、约去 $m$」；测出 $G$ 后两条路都能称天体：H08 用地表 $g$，H07 用绕行者轨道。
• H09——$GM$ 组合再次出现于史瓦西半径。
• 主题 11 §11.2——讲义口径（含潮汐追问）；§11.3「称量地球」。
• 主题 4 §4.2——扭秤装置与逐步分析。