目标公式：

$$\boxed{{\displaystyle v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{2(hf-E_A)}{m_e}}}},E_{\gamma }=hf=\frac{hc}{\lambda }$$$$f_{\text{Grenz}}=\frac{E_A}{h},{\lambda }_{\text{Grenz}}=\frac{hc}{E_A}$$

适用范围/假设：

• 爱因斯坦光量子图像：光以一份份光子（每份 $E_{\gamma }=hf$）入射；一个电子吸收一个光子——全有或全无。
• $E_{\text{kin}}=hf-E_A$ 给出的是最大动能（金属表面的电子）；来自深处的电子还会因碰撞损失 $W_S$（课本完整写法 $hf=E_{\text{kin}}+W_A+W_S$）。
• 电子速度非相对论（本算例 $v\sim {10}^5$ m/s $\ll c$，用 $\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$ 合法）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$E=h\cdot f$	Photonenenergie	✅ S. 5 („$E=h\cdot f$")
$v=\lambda \cdot f$（取 $v=c$）	Wellengeschwindigkeit	✅ S. 3 („Wellengeschwindigkeit"）
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	kinetische Energie	✅ S. 2 („$E_{\text{kin}}=\frac{m{v}^2}{2}$")
$hf=E_A+E_{\text{kin}}$	Einstein-Gleichung（能量账）	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己写出（能量守恒：收到 = 消耗 + 剩余）
$1\text{eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ J	eV↔J 换算	❌ 换算关系不在表中——由 S. 4 的 $W=U\cdot Q$ 与 S. 1 的 $e$ 自己得出：$1\text{eV}=e\cdot 1\text{V}$
$h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$ Js；$m_e=\mathrm{9,109}\cdot {10}^{-31}$ kg；$e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C；$c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Konstanten	✅ S. 1（常数表）

推导（Schritt für Schritt）

1. 写出单光子能量（普朗克/爱因斯坦：光的能量一份份到来，每份只由频率决定——S. 5）：$$E_{\gamma }=h\cdot f$$
2. 立能量账（爱因斯坦方程）（能量守恒：光子把全部能量一次性交给一个电子；先付材料决定的逸出功 $E_A$ 把电子从金属解放出来，剩余变成动能。「收到 = 消耗 + 剩余」）：$$\boxed{{\displaystyle hf=E_A+E_{\text{kin}}}}$$
3. 对动能求解（两边减 $E_A$；只有 $hf>E_A$ 时才有电子逸出——否则情形 1：无论多亮都打不出电子）：$$E_{\text{kin}}=hf-E_A$$
4. 代入 $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$ 并对 $v$ 求解（S. 2 的动能公式用于逸出电子；两边乘 $\frac{2}{m_e}$、开方。所得为最大速度——表面电子）：$$\frac{1}{2}{m}_e{v}_{\text{max}}^2=hf-E_A⟹\boxed{{\displaystyle v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{2(hf-E_A)}{m_e}}}}$$
5. 极限频率：令 $E_{\text{kin}}=0$（临界情形 2：光子能量恰好只够付逸出功，电子以 $v=0$ 逸出。$h{f}_{\text{Grenz}}=E_A$ 对 $f$ 求解）：$$f_{\text{Grenz}}=\frac{E_A}{h}$$
6. 换成极限波长（用 S. 3 的 $c=\lambda f$ 对 $\lambda$ 求解、代入第 5 步；注意 $f<f_{\text{Grenz}}\iff \lambda >{\lambda }_{\text{Grenz}}$——波长长于极限波长的光打不出电子）：$${\lambda }_{\text{Grenz}}=\frac{c}{f_{\text{Grenz}}}=\frac{hc}{E_A}$$
7. 光子能量 ↔ 波长的通用换算（把 $f=c/\lambda$ 代入第 1 步——光谱学里最常用的形式）：$$E_{\gamma }=hf=\frac{hc}{\lambda }$$

算例 1 ★：锌的极限频率与极限波长（验算）

锌：$E_A\approx 4,3$ eV。先换单位（eV→J，乘 $e$）：

$$E_A=4,3\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}=6,89\cdot {10}^{-19}\text{J}$$$$f_{\text{Grenz}}=\frac{E_A}{h}=\frac{6,89\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}\approx 1,04\cdot {10}^{15}\text{Hz}$$$${\lambda }_{\text{Grenz}}=\frac{c}{f_{\text{Grenz}}}=\frac{\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8}{1,04\cdot {10}^{15}}\approx 2,9\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 290\text{nm}✓$$

已在紫外区——整个可见光（约 1,6–3,1 eV）都低于 4,3 eV，所以对锌板只有紫外才行（红光再亮也不行）。

算例 2 ★：逸出电子的速度（含 eV↔J 逐步换算）

紫外 $\lambda =250$ nm 照锌板：

1. $f={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8}{2,5\cdot {10}^{-7}}}=1,20\cdot {10}^{15}$ Hz
2. $hf=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot 1,20\cdot {10}^{15}=7,95\cdot {10}^{-19}\text{J}\widehat{=}{\displaystyle \frac{7,95\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}}}\approx 5,0$ eV
3. $E_{\text{kin}}=hf-E_A=5,0-4,3=0,7\text{eV}$；换回 J：$E_{\text{kin}}\approx 0,66\text{eV}\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}=1,06\cdot {10}^{-19}$ J
4. $v_{\text{max}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot 1,06\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,109}\cdot {10}^{-31}}}}=\sqrt{2,33\cdot {10}^{11}}\approx 4,8\cdot {10}^5\frac{\text{m}}{\text{s}}✓$（与讲义一致；$v/c\approx 0,16\mathrm{\%}$——非相对论近似合法）

算例 3 ★：讲义跃迁算例复算（11,7 → 9,15 eV → ≈490 nm）

电子从 $E_3=11,7$ eV 跃回 $E_1=9,15$ eV，放出一个光子：

1. $\mathrm{\Delta }E=11,7-9,15=2,55\text{eV}=2,55\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}=4,09\cdot {10}^{-19}$ J
2. $f={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }E}{h}}={\displaystyle \frac{4,09\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}}\approx 6,2\cdot {10}^{14}$ Hz
3. $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8}{6,17\cdot {10}^{14}}}\approx 4,9\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 490\text{nm}✓$（精确值 486 nm；讲义用 $c\approx 3\cdot {10}^8$ 取整为 490 nm——蓝绿可见光，与 2,55 eV 落在可见区自洽）

变量表

符号	含义	SI 单位
$E_{\gamma }$	单个光子的能量	J（常用 eV）
$f$	光的频率	Hz = 1/s
$\lambda$	光的波长	m
$E_A$	逸出功（材料常数；锌 ≈ 4,3 eV，讲义值）	J（常用 eV）
$E_{\text{kin}}$	逸出电子的（最大）动能	J（常用 eV）
$v_{\text{max}}$	逸出电子的最大速度	m/s
$f_{\text{Grenz}}$	极限频率（低于它无电子逸出）	Hz
${\lambda }_{\text{Grenz}}$	极限波长（长于它无电子逸出）	m
$h$	普朗克常数 $=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$ Js（Formelnheft S. 1）	J·s
$m_e$	电子质量 $=\mathrm{9,109}\cdot {10}^{-31}$ kg（Formelnheft S. 1）	kg
$e$	基本电荷 $=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C（Formelnheft S. 1；eV↔J 换算因子）	C
$c$	真空光速 $=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s（Formelnheft S. 1）	m/s

关联

• H11——$e$ 的测定；没有 $e$ 就没有 eV↔J 换算。
• 主题 9 §9.2——讲义口径：经典波动理论的三个错误预言、三种情形表、锌板算例与 $W_S$ 追问。
• 主题 13 §13.2——Hallwachs 学校实验（验电器 + 玻璃板对照）。
• 主题 9 §9.2 发射与吸收——算例 3 的语境（分立能级与线状光谱）。