按 Prof. Linhart 真实出卷风格的三套 Zettel（Zettel 1 为已证实真题 ★）+ 考官追问链 + 答案钥匙——内容锚点以 讲义主题 11 为准。口试约 10 分钟，围绕卷面任务链展开讨论。

Zettel 1 — ART · 黑洞 · 科学理论 ★（真题卷）

范式定位： „Im Paradigma der klassischen Mechanik ist Gravitation eine Kraft zwischen Massen — im Paradigma der ART ist sie Krümmung der Raumzeit. Auf diesem Zettel bewegen wir uns in der ART."

1. ★ Erkläre： 狭义与广义相对论（SRT/ART）的区别——哪一个处理加速系统（beschleunigte Systeme）？各是哪一年？为什么说 ART 是一门 „klassische" Theorie？
2. ★ Demo / Alltagsbeispiel： 阐述等效原理（Äquivalenzprinzip）的两组等价，并解释课堂演示：durchlöcherte Wasserflasche——打了孔的水瓶从 Physiksaal 前方扔下，下落途中水为什么不再流出？顺带讲讲爱因斯坦的 Dachdecker 轶事（1907，„der glücklichste Gedanke meines Lebens"）。
3. ★ Ableitung durchführen： 由 $v_F=c_0$ 推导史瓦西半径（Schwarzschildradius） $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$，逐一解释物理量与单位。
4. ★ Rechenbeispiel： 计算地球的史瓦西半径（$M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg）。结果换算成合适的单位——毫米还是公里？
5. ★ 讨论： 什么是奇点（Singularität）——体积、密度各趋向什么？大多数物理学家相信它真的存在吗？ART 的 letzter großer Erfolg（2015）是什么——那些引力波从哪里来？
6. ★ 科学理论弯钩： „Ist die ART falsch?"——请表态并论证。另：2008 年有人因担心微型黑洞而起诉阻止 LHC 启动——这场官司物理上站得住吗？还有：如果太阳明天突然变成黑洞，地球的轨道会发生什么？

Zettel 2 — Newton · Kepler（经典引力）

范式定位： „Im Paradigma der klassischen Mechanik beschreibt Newton die Gravitation als Fernwirkungskraft — und erklärt damit Keplers Gesetze."

1. Erkläre： 万有引力定律（Gravitationsgesetz）。$r$ 指什么？为什么偏偏是 $1/r^2$？
2. Demo / Alltagsbeispiel： Cavendish 扭秤（Torsionswaage）——他测了什么？为什么人们说他**「称量了地球」**？
3. Ableitung durchführen： 由「向心力 = 引力」（Zentripetalkraft = Gravitationskraft）推导开普勒第三定律 ${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}$。
4. 单位换算： 公式里的 $T$ 必须用什么单位？若把「27,3 天」直接代入会怎样？
5. Rechenbeispiel： 由月球轨道（$T=27,3$ d，$a=\mathrm{3,844}\cdot {10}^8$ m）计算地球质量。
6. 科学理论弯钩： 人们说 Kepler 只是**「beschrieben」、Newton 才「erklärt」**——物理学里「描述」与「解释」差在哪？Tycho Brahe 的数据在其中扮演什么角色？

Zettel 3 — 黑洞（深入）

范式定位： „Schwarze Löcher sind ihrem Wesen nach Objekte der ART — wir nähern uns ihnen trotzdem zuerst klassisch und schauen, wie weit wir kommen."

1. Erkläre： 黑洞的定义（$v_F>c_0$）与事件视界（Ereignishorizont）。它真的是一个「洞」吗？
2. Alltagsbeispiel / 观测： 黑洞本身不发光——我们怎么探测它？（吸积盘、EHT 2019、引力透镜）
3. Ableitung durchführen： 推导黑洞的平均密度 $\rho ={\displaystyle \frac{3c_0^6}{32\pi G^3{M}^2}}$，并说明 $\rho \propto 1/M^2$ 意味着什么。
4. Rechenbeispiel： 一个太阳质量黑洞（$R\approx 3$ km）的平均密度是多少？一个 ${10}^9{M}_{\odot }$ 的超大质量黑洞呢？与水比较。
5. 讨论： 潮汐力（Gezeitenkräfte）/「Spaghettisierung」——为什么落入小黑洞反而比落入超大黑洞「更疼」？
6. 科学理论弯钩： 我们的史瓦西半径推导严格吗（牛顿力学 vs Schwarzschild 1916）？中心的奇点处 ART 失效——这告诉我们关于这门理论的什么？

考官追问链 / Nachfragen-Kette

1. ★ „Ist die ART eine Quantentheorie?"
2. ★ „Ist die ART falsch?"（小心：这是挑衅题）
3. ★ „Woher kamen die Gravitationswellen von 2015?"
4. ★ „Wie ein Stein, der ins Wasser fällt — was schwingt da eigentlich?"
5. ★ „Was passiert mit dem Wasser, wenn ich die durchlöcherte Flasche fallen lasse?"
6. ★ „Kannst du aus dem schwarzen Loch mit einer Taschenlampe rausleuchten?"
7. ★ „Die Singularität — was glauben die meisten von uns: gibt es sie wirklich?"
8. ★ „Wenn die Sonne plötzlich ein schwarzes Loch würde — was passiert mit der Gravitation?"
9. ★ „Warum war die Klage gegen den LHC physikalisch unbegründet?"
10. „Schwarzschildradius der Erde — Millimeter oder Kilometer? Überrascht?"
11. „Sie haben T in Tagen eingesetzt — was sagt mir dann das Ergebnis?"
12. „Kepler hat beschrieben, Newton hat erklärt — wo genau liegt der Unterschied?"

§§ANTWORTEN

Zettel 1

1. SRT（1905）只处理不加速（unbeschleunigte/inertiale）系统；ART（1915）也处理加速系统，从而处理引力。Klassisch 的标准回答：„Klassisch heißt: keine Quantentheorie." ART 是连续的时空场论，没有量子化；把 ART 与量子论统一的尝试至今失败（Quantengravitation 仍缺）——所以它和牛顿力学一样归入「经典」理论之列。→ 讲义 §11.5
2. 两组等价：① 地面上静止的火箭（$g=9,81$ m/s²）≡ 远离一切质量、以 $a=9,81$ m/s² 加速的火箭——光线在加速火箭里弯曲，故在引力场中也必弯曲；② 远离一切天体的漂浮 ≡ 引力场中的自由落体。水瓶演示：静止时水在静水压（hydrostatischer Druck）作用下从孔里喷出；扔下后整瓶处于自由落体——水失重，„Im freien Fall ist das Wasser schwerelos, der hydrostatische Druck ist null — es fließt nichts mehr heraus." 轶事：爱因斯坦听说柏林一位 Dachdecker/Maler 从屋顶坠落、却感觉不到自身重量——他称之为 „der glücklichste Gedanke meines Lebens"（1907），等效原理由此萌芽。→ 讲义 §11.5 等效原理
3. 逃逸速度 $v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$（能量守恒推得，见 主题 2 §2.4）。令 $v_F=c_0$：$c_0^2={\displaystyle \frac{2GM}{R}}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}}}$。$G$…引力常数（N·m²/kg²），$M$…天体质量（kg），$c_0=3\cdot {10}^8$ m/s…真空光速，$R$…史瓦西半径（m）。主动点破：推导只是启发式的（牛顿式），严格解来自 Schwarzschild 1916。→ 讲义 §11.7
4. $R={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{(3\cdot {10}^8{)}^2}}={\displaystyle \frac{7,97\cdot {10}^{14}}{9\cdot {10}^{16}}}\approx 8,9\cdot {10}^{-3}\text{m}\approx 9\text{mm}$——毫米！（验算：$\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\times \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}=3,99\cdot {10}^{14}$，乘 2 除 $9\cdot {10}^{16}$ ✓）把地球压到乒乓球大小以下，它就成了黑洞。
5. 奇点：$V\to 0$、$\rho \to \mathrm{\infty }$。标准应答：„Was glauben die meisten von uns? — Es gibt sie wahrscheinlich nicht." 奇点恰是 ART 失效、需要量子引力的地方。2015：LIGO 直接探测到引力波——来自两个并合的黑洞（verschmelzende schwarze Löcher）；时空像 „wie ein Stein, der ins Wasser fällt" 那样荡开涟漪。→ 讲义 §11.6
6. „Ist die ART falsch?"：„Falsch heißt nicht, dass alles falsch wäre — die klassische Mechanik ist in dem Sinn genauso falsch." 每个理论都有适用范围（Geltungsbereich）；ART 在奇点处失效、且无法与量子论统一——这暗示存在更深层的理论，但在其范围内 ART 的预言极其精确。LHC 诉讼（2008）：物理上不成立——①宇宙射线以远高于 LHC 的能量轰击地球已数十亿年，地球安然无恙；②即便产生微型黑洞，它也会经 Hawking 辐射在 $\sim {10}^{-26}$ s 内蒸发。太阳变黑洞：„Nichts! Gleiche Masse, gleiche Umlaufbahn." 引力只取决于质量与距离（壳层定理）——黑洞不会「吸走一切」，这是 „Aufsaugen" 迷思；只是 8 分钟后天黑、变冷。→ 讲义 §11.7

Zettel 2

1. $F_G=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$；$r$ 是两质心（Massenmittelpunkte）间距，不是表面间距。$1/r^2$ 的来源：作用均匀摊在半径 $r$ 的球面上，$O=4\pi r^2$——距离翻倍、面积变四倍、每点只剩四分之一。→ 讲义 §11.1
2. 牛顿不知道 $G$；Cavendish（1798）用扭秤首测 $G$（细丝悬梁，微小引力扭转细丝，由扭角读出力）。「称地球」：$g$ 与 $R_E$ 已知，$M_E={\displaystyle \frac{g{R}_E^2}{G}}\approx 6\cdot {10}^{24}$ kg。→ 讲义 §11.3
3. ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$ → 约掉 $m$ → $v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$；代 $v=\omega r$、$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$ → ${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{GM}{r^3}}$ → $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{T^2}{a^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}}}$。→ 讲义 §11.4
4. $T$ 务必换算成秒（$G$ 的单位含秒）。直接代「27,3」（天数）会让结果错约 $86{400}^2\approx 7,5\cdot {10}^9$ 倍——量纲不自洽。
5. $T=27,3\cdot 86400=2,36\cdot {10}^6$ s。$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{3,844}\cdot {10}^8{)}^3}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot (2,36\cdot {10}^6{)}^2}}$。分子：$a^3=5,68\cdot {10}^{25}$，$\times 4{\pi }^2=2,24\cdot {10}^{27}$；分母：$(2,36\cdot {10}^6{)}^2=5,57\cdot {10}^{12}$，$\times G=372$。$M\approx {\displaystyle \frac{2,24\cdot {10}^{27}}{372}}\approx 6,0\cdot {10}^{24}$ kg ✓（与已知地球质量 $5,97\cdot {10}^{24}$ kg 吻合）。
6. Kepler 从 Tycho Brahe 的角度测量数据（精度约一角分、尤其火星）中归纳出三条规律——纯描述（Beschreibung）：是什么、不知为什么。Newton 用「向心力 = 引力」把第二、第三定律推导出来——解释（Erklärung）：从更基本的原理（力学+引力定律）导出现象。„Kepler wusste dass, Newton wusste warum." → 讲义 §11.4

Zettel 3

1. 黑洞：表面 $v_F>c_0$ 的天体；事件视界处 $v_F=c_0$，视界内连光都无法逃出。它不是洞，而是三维天体。→ 讲义 §11.7
2. 间接探测：吸积盘（Akkretionsscheibe）——坠入物质被加速、升温、发出强烈电磁辐射；EHT 2019 拍到 M87* 视界阴影（2022 SgrA*）；以及引力透镜/爱因斯坦环。→ 讲义 §11.7
3. $\rho ={\displaystyle \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}}$，代 $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$：$\rho ={\displaystyle \frac{3M{c}_0^6}{4\pi \cdot 8G^3{M}^3}}={\displaystyle \frac{3c_0^6}{32\pi G^3{M}^2}}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \rho \propto 1/M^2}}$。质量越大、平均密度越小（$R\propto M$ → $V\propto M^3$，质量只 $\propto M$）。→ 讲义 §11.7
4. $M_{\odot }=2\cdot {10}^{30}$ kg，$R\approx 2,95$ km：$V=\frac{4}{3}\pi (2950{)}^3\approx 1,08\cdot {10}^{11}$ m³ → $\rho \approx {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{30}}{1,08\cdot {10}^{11}}}\approx 1,9\cdot {10}^{19}$ kg/m³（远超原子核密度 $\sim 2\cdot {10}^{17}$）。${10}^9{M}_{\odot }$：$\rho \propto 1/M^2$ → $1,9\cdot {10}^{19}/{10}^{18}\approx 19$ kg/m³——比水（1000 kg/m³）还稀疏，跟泡沫差不多。（验算：${2950}^3=2,57\cdot {10}^{10}$，$\times \frac{4}{3}\pi =1,08\cdot {10}^{11}$ ✓）
5. 潮汐力来自引力的不均匀（头脚之间的 $g$ 差，同 潮汐 逻辑）。小黑洞视界半径小，你必须靠极近才到视界——$1/r^2$ 在小 $r$ 处变化剧烈，头脚拉差巨大 →「Spaghettisierung」在视界外就发生；超大黑洞视界极远（$R\propto M$），视界处梯度平缓，可以「安然」越过视界——虽然之后照样有去无回。
6. 不严格——推导用牛顿动能、把光当有质量抛体，但光无静质量、$v\approx c$ 超出牛顿力学适用范围；严格结果是 Schwarzschild 1916 对场方程的精确解，公式相同是幸运的巧合。奇点（$\rho \to \mathrm{\infty }$）表明 ART 自身预言了自己的失效边界——如同每个理论，它有适用范围；在那之外需要 Quantengravitation。→ 讲义 §11.7

追问链速答

1. „Nein — klassisch heißt gerade: keine Quantentheorie." 统一至今失败。
2. „Falsch heißt nicht, dass alles falsch wäre"——理论=适用范围；经典力学「同样地falsch」。
3. „Von zwei verschmelzenden schwarzen Löchern"（LIGO，直接探测）。
4. 时空本身——被交替压缩/拉伸（„wie ein Stein, der ins Wasser fällt"——荡开的是水面，这里荡开的是 Raumzeit）。
5. „Es hört auf zu fließen"——自由落体中水失重、静水压为零。
6. „Nein. Aber du würdest sehen, was draußen ist."——光出不去，外面的光进得来。
7. „Es gibt sie wahrscheinlich nicht"——它标记 ART 的失效点。
8. „Nichts! Gleiche Masse, gleiche Umlaufbahn."
9. 宇宙射线能量更高、轰击地球亿万年安然无恙；微型黑洞经 Hawking 辐射 $\sim {10}^{-26}$ s 蒸发。
10. 毫米（约 9 mm）——天体不必大质量，只要压缩得够狠。
11. 一个量纲错乱的数——$T$ 必须用秒。
12. 描述=「是什么」（拟合数据的规律）；解释=「为什么」（由更基本原理推导出来）。