Drei Zettel im echten Prüfungsstil von Prof. Linhart (Zettel 1 = belegte echte Prüfung ★) + Nachfragen-Kette + Antwortschlüssel — inhaltliche Anker im Skript Thema 11. Das Hearing dauert ca. 10 Minuten und folgt der Aufgabenkette am Zettel.

Zettel 1 — ART · Schwarze Löcher · Wissenschaftstheorie ★ (echte Prüfung)

Paradigmen-Einstieg: „Im Paradigma der klassischen Mechanik ist Gravitation eine Kraft zwischen Massen — im Paradigma der ART ist sie Krümmung der Raumzeit. Auf diesem Zettel bewegen wir uns in der ART."

1. ★ Erkläre: den Unterschied zwischen SRT und ART — welche behandelt beschleunigte Systeme? Aus welchen Jahren stammen sie? Warum ist die ART eine „klassische" Theorie?
2. ★ Demo / Alltagsbeispiel: Formuliere das Äquivalenzprinzip mit seinen zwei Vergleichspaaren und erkläre die Unterrichts-Demo: die durchlöcherte Wasserflasche — vor dem Physiksaal fallen gelassen, hört das Wasser im Fall auf zu fließen. Warum? Erzähle dazu Einsteins Dachdecker-Anekdote (1907, „der glücklichste Gedanke meines Lebens").
3. ★ Ableitung durchführen: Leite aus $v_F=c_0$ den Schwarzschildradius $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$ her und erkläre alle physikalischen Größen samt Einheiten.
4. ★ Rechenbeispiel: Berechne den Schwarzschildradius der Erde ($M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg). Gib das Ergebnis in einer passenden Einheit an — Millimeter oder Kilometer?
5. ★ Diskutiere: Was ist die Singularität — wohin gehen Volumen und Dichte? Glauben die meisten Physiker, dass es sie wirklich gibt? Was war der letzte große Erfolg der ART (2015) — und woher kamen diese Gravitationswellen?
6. ★ Wissenschaftstheoretischer Haken: „Ist die ART falsch?" — nimm Stellung und begründe. Außerdem: 2008 wurde wegen Mini-schwarzer-Löcher geklagt, um die Inbetriebnahme des LHC zu verhindern — war das physikalisch begründet? Und: Würde die Sonne morgen plötzlich zum schwarzen Loch — was passiert mit der Erdbahn?

Zettel 2 — Newton · Kepler (klassische Gravitation)

Paradigmen-Einstieg: „Im Paradigma der klassischen Mechanik beschreibt Newton die Gravitation als Fernwirkungskraft — und erklärt damit Keplers Gesetze."

1. Erkläre: das Gravitationsgesetz. Was bedeutet $r$? Warum ausgerechnet $1/r^2$?
2. Demo / Alltagsbeispiel: Die Torsionswaage von Cavendish — was hat er gemessen, und warum sagt man, er habe damit „die Erde gewogen"?
3. Ableitung durchführen: Leite aus „Zentripetalkraft = Gravitationskraft" das dritte Keplersche Gesetz ${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}$ her.
4. Einheiten: In welcher Einheit muss $T$ eingesetzt werden? Was passiert, wenn man „27,3 Tage" direkt einsetzt?
5. Rechenbeispiel: Berechne aus der Mondbahn ($T=27,3$ d, $a=\mathrm{3,844}\cdot {10}^8$ m) die Masse der Erde.
6. Wissenschaftstheoretischer Haken: Man sagt, Kepler habe nur „beschrieben", Newton habe „erklärt" — worin genau liegt der Unterschied? Welche Rolle spielten dabei die Daten von Tycho Brahe?

Zettel 3 — Schwarze Löcher (vertieft)

Paradigmen-Einstieg: „Schwarze Löcher sind ihrem Wesen nach Objekte der ART — wir nähern uns ihnen trotzdem zuerst klassisch und schauen, wie weit wir kommen."

1. Erkläre: die Definition eines schwarzen Lochs ($v_F>c_0$) und den Ereignishorizont. Ist es wirklich ein „Loch"?
2. Alltagsbeispiel / Beobachtung: Ein schwarzes Loch leuchtet nicht — wie weist man es nach? (Akkretionsscheibe, EHT 2019, Gravitationslinsen)
3. Ableitung durchführen: Leite die mittlere Dichte $\rho ={\displaystyle \frac{3c_0^6}{32\pi G^3{M}^2}}$ her und erkläre, was $\rho \propto 1/M^2$ bedeutet.
4. Rechenbeispiel: Wie groß ist die mittlere Dichte eines schwarzen Lochs von einer Sonnenmasse ($R\approx 3$ km)? Und eines supermassereichen mit ${10}^9{M}_{\odot }$? Vergleiche mit Wasser.
5. Diskutiere: Gezeitenkräfte / „Spaghettisierung" — warum ist der Sturz in ein kleines schwarzes Loch „schmerzhafter" als in ein supermassereiches?
6. Wissenschaftstheoretischer Haken: Ist unsere Herleitung des Schwarzschildradius streng (Newton'sche Mechanik vs. Schwarzschild 1916)? Die ART versagt an der zentralen Singularität — was sagt uns das über die Theorie?

Nachfragen-Kette

1. ★ „Ist die ART eine Quantentheorie?"
2. ★ „Ist die ART falsch?" (Vorsicht: Provokationsfrage)
3. ★ „Woher kamen die Gravitationswellen von 2015?"
4. ★ „Wie ein Stein, der ins Wasser fällt — was schwingt da eigentlich?"
5. ★ „Was passiert mit dem Wasser, wenn ich die durchlöcherte Flasche fallen lasse?"
6. ★ „Kannst du aus dem schwarzen Loch mit einer Taschenlampe rausleuchten?"
7. ★ „Die Singularität — was glauben die meisten von uns: gibt es sie wirklich?"
8. ★ „Wenn die Sonne plötzlich ein schwarzes Loch würde — was passiert mit der Gravitation?"
9. ★ „Warum war die Klage gegen den LHC physikalisch unbegründet?"
10. „Schwarzschildradius der Erde — Millimeter oder Kilometer? Überrascht?"
11. „Sie haben T in Tagen eingesetzt — was sagt mir dann das Ergebnis?"
12. „Kepler hat beschrieben, Newton hat erklärt — wo genau liegt der Unterschied?"

§§ANTWORTEN

Zettel 1

1. Die SRT (1905) behandelt nur unbeschleunigte (inertiale) Systeme; die ART (1915) auch beschleunigte — und damit die Gravitation. „Klassisch": „Klassisch heißt: keine Quantentheorie." Die ART ist eine kontinuierliche Feldtheorie der Raumzeit, nichts daran ist quantisiert; alle Versuche, ART und Quantentheorie zu vereinheitlichen, sind bis heute gescheitert (Quantengravitation fehlt) — darum zählt sie, wie die Newton'sche Mechanik, zu den „klassischen" Theorien. → Skript §11.5
2. Zwei Vergleichspaare: ① Rakete steht auf der Erde ($g=9,81$ m/s²) ≡ Rakete beschleunigt fern jeder Masse mit $a=9,81$ m/s² — ein Lichtstrahl wird in der beschleunigten Rakete gekrümmt, also muss er es auch im Gravitationsfeld; ② Schweben fern aller Himmelskörper ≡ freier Fall im Gravitationsfeld. Wasserflaschen-Demo: In Ruhe drückt der hydrostatische Druck das Wasser aus den Löchern; lässt man die Flasche fallen, ist alles im freien Fall — „Im freien Fall ist das Wasser schwerelos, der hydrostatische Druck ist null — es fließt nichts mehr heraus." Anekdote: Einstein hörte von einem Berliner Dachdecker/Maler, der vom Dach stürzte und dabei sein eigenes Gewicht nicht spürte — für Einstein „der glücklichste Gedanke meines Lebens" (1907), die Geburtsstunde des Äquivalenzprinzips. → Skript §11.5 Äquivalenzprinzip
3. Fluchtgeschwindigkeit $v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$ (über Energieerhaltung, siehe Thema 2 §2.4). Setze $v_F=c_0$: $c_0^2={\displaystyle \frac{2GM}{R}}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}}}$. $G$ … Gravitationskonstante (N·m²/kg²), $M$ … Masse des Körpers (kg), $c_0=3\cdot {10}^8$ m/s … Vakuumlichtgeschwindigkeit, $R$ … Schwarzschildradius (m). Selbst darauf hinweisen: Die Herleitung ist nur heuristisch (Newton'sch); das strenge Resultat stammt von Schwarzschild 1916. → Skript §11.7
4. $R={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{(3\cdot {10}^8{)}^2}}={\displaystyle \frac{7,97\cdot {10}^{14}}{9\cdot {10}^{16}}}\approx 8,9\cdot {10}^{-3}\text{m}\approx 9\text{mm}$ — Millimeter! (Probe: $\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\times \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}=3,99\cdot {10}^{14}$, mal 2, durch $9\cdot {10}^{16}$ ✓) Presste man die Erde unter Tischtennisball-Größe, wäre sie ein schwarzes Loch.
5. Singularität: $V\to 0$, $\rho \to \mathrm{\infty }$. Standardantwort: „Was glauben die meisten von uns? — Es gibt sie wahrscheinlich nicht." Die Singularität ist genau der Punkt, an dem die ART versagt und eine Quantengravitation gebraucht wird. 2015: LIGO weist Gravitationswellen direkt nach — sie stammen von zwei verschmelzenden schwarzen Löchern; die Raumzeit kräuselt sich „wie ein Stein, der ins Wasser fällt". → Skript §11.6
6. „Ist die ART falsch?": „Falsch heißt nicht, dass alles falsch wäre — die klassische Mechanik ist in dem Sinn genauso falsch." Jede Theorie hat ihren Geltungsbereich; die ART versagt an der Singularität und widersteht der Vereinheitlichung mit der Quantentheorie — das deutet auf eine tiefere Theorie hin, aber innerhalb ihres Bereichs ist sie extrem präzise bestätigt. LHC-Klage (2008): physikalisch unbegründet — ① die kosmische Strahlung bombardiert die Erde seit Milliarden Jahren mit weit höheren Energien, ohne dass etwas passiert ist; ② selbst ein erzeugtes Mini-schwarzes-Loch verdampft per Hawking-Strahlung in $\sim {10}^{-26}$ s. Sonne als schwarzes Loch: „Nichts! Gleiche Masse, gleiche Umlaufbahn." Die Gravitation hängt nur von Masse und Abstand ab (Schalentheorem) — ein schwarzes Loch „saugt" nicht alles auf (der „Aufsaugen"-Mythos); es würde nur nach 8 Minuten dunkel und kalt. → Skript §11.7

Zettel 2

1. $F_G=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$; $r$ ist der Abstand der Massenmittelpunkte, nicht der Oberflächen. Woher $1/r^2$: Die Wirkung verteilt sich gleichmäßig auf die Kugelfläche $O=4\pi r^2$ — doppelter Abstand, vierfache Fläche, an jedem Punkt ein Viertel. → Skript §11.1
2. Newton kannte $G$ nicht; Cavendish (1798) maß $G$ erstmals mit der Torsionswaage (an einem Draht aufgehängter Balken; die winzige Gravitationskraft verdrillt den Draht, der Winkel verrät die Kraft). „Erde gewogen": $g$ und $R_E$ waren bekannt, also $M_E={\displaystyle \frac{g{R}_E^2}{G}}\approx 6\cdot {10}^{24}$ kg. → Skript §11.3
3. ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$ → $m$ kürzen → $v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$; mit $v=\omega r$, $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$ folgt ${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{GM}{r^3}}$, also $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{T^2}{a^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}}}$. → Skript §11.4
4. $T$ unbedingt in Sekunden (die Sekunde steckt in der Einheit von $G$). Setzt man „27,3" (Tage) ein, liegt das Ergebnis um den Faktor $86{400}^2\approx 7,5\cdot {10}^9$ daneben — die Dimensionen passen nicht.
5. $T=27,3\cdot 86400=2,36\cdot {10}^6$ s. $M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{3,844}\cdot {10}^8{)}^3}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot (2,36\cdot {10}^6{)}^2}}$. Zähler: $a^3=5,68\cdot {10}^{25}$, $\times 4{\pi }^2=2,24\cdot {10}^{27}$; Nenner: $(2,36\cdot {10}^6{)}^2=5,57\cdot {10}^{12}$, $\times G=372$. $M\approx {\displaystyle \frac{2,24\cdot {10}^{27}}{372}}\approx 6,0\cdot {10}^{24}$ kg ✓ (stimmt mit der bekannten Erdmasse $5,97\cdot {10}^{24}$ kg überein).
6. Kepler las aus Tycho Brahes Winkelmessungen (auf eine Bogenminute genau, v. a. Mars) drei Regelmäßigkeiten heraus — reine Beschreibung: dass es so ist, nicht warum. Newton leitete das zweite und dritte Gesetz aus „Zentripetalkraft = Gravitation" her — eine Erklärung: das Phänomen folgt aus grundlegenderen Prinzipien. „Kepler wusste dass, Newton wusste warum." → Skript §11.4

Zettel 3

1. Schwarzes Loch: ein Gebilde, an dessen Oberfläche $v_F>c_0$; am Ereignishorizont gilt $v_F=c_0$, von innen entkommt nicht einmal Licht. Es ist kein Loch, sondern ein 3D-Gebilde. → Skript §11.7
2. Indirekt: über die Akkretionsscheibe — einstürzende Materie wird beschleunigt, heizt sich auf und strahlt stark elektromagnetisch; EHT 2019 fotografierte den Horizont-Schatten von M87* (2022 SgrA*); dazu Gravitationslinsen/Einstein-Ringe. → Skript §11.7
3. $\rho ={\displaystyle \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}}$, mit $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$: $\rho ={\displaystyle \frac{3M{c}_0^6}{4\pi \cdot 8G^3{M}^3}}={\displaystyle \frac{3c_0^6}{32\pi G^3{M}^2}}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \rho \propto 1/M^2}}$. Je größer die Masse, desto kleiner die mittlere Dichte ($R\propto M$ → $V\propto M^3$, Masse nur $\propto M$). → Skript §11.7
4. $M_{\odot }=2\cdot {10}^{30}$ kg, $R\approx 2,95$ km: $V=\frac{4}{3}\pi (2950{)}^3\approx 1,08\cdot {10}^{11}$ m³ → $\rho \approx {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{30}}{1,08\cdot {10}^{11}}}\approx 1,9\cdot {10}^{19}$ kg/m³ (weit über Kerndichte $\sim 2\cdot {10}^{17}$). Für ${10}^9{M}_{\odot }$: $\rho \propto 1/M^2$ → $1,9\cdot {10}^{19}/{10}^{18}\approx 19$ kg/m³ — dünner als Wasser (1000 kg/m³), etwa wie Schaumstoff. (Probe: ${2950}^3=2,57\cdot {10}^{10}$, $\times \frac{4}{3}\pi =1,08\cdot {10}^{11}$ ✓)
5. Gezeitenkräfte entstehen aus der Ungleichmäßigkeit der Gravitation (Unterschied zwischen Kopf und Füßen — dieselbe Logik wie bei den Gezeiten). Beim kleinen schwarzen Loch liegt der Horizont sehr nah am Zentrum — dort ändert sich $1/r^2$ extrem stark, der Kopf-Fuß-Unterschied wird riesig → „Spaghettisierung" schon außerhalb des Horizonts. Beim supermassereichen liegt der Horizont weit draußen ($R\propto M$), der Gradient dort ist sanft — man überquert den Horizont „unversehrt", auch wenn es danach genauso kein Zurück gibt.
6. Nein — die Herleitung benutzt Newton'sche kinetische Energie und behandelt Licht als Wurfkörper mit Masse; Licht hat aber keine Ruhemasse, und $v\approx c$ liegt außerhalb des Newton'schen Geltungsbereichs. Das strenge Resultat ist Schwarzschilds exakte Lösung der Feldgleichungen (1916); dieselbe Formel ist ein glücklicher Zufall. Die Singularität ($\rho \to \mathrm{\infty }$) zeigt: Die ART sagt ihre eigene Grenze voraus — wie jede Theorie hat sie einen Geltungsbereich; dahinter braucht es die Quantengravitation. → Skript §11.7

Kurzantworten zur Nachfragen-Kette

1. „Nein — klassisch heißt gerade: keine Quantentheorie." Die Vereinheitlichung ist bis heute gescheitert.
2. „Falsch heißt nicht, dass alles falsch wäre" — Theorien haben Geltungsbereiche; die klassische Mechanik ist „in dem Sinn genauso falsch".
3. „Von zwei verschmelzenden schwarzen Löchern" (LIGO, direkter Nachweis).
4. Die Raumzeit selbst — sie wird abwechselnd gestaucht und gedehnt („wie ein Stein, der ins Wasser fällt" — dort kräuselt sich die Wasseroberfläche, hier die Raumzeit).
5. „Es hört auf zu fließen" — im freien Fall ist das Wasser schwerelos, der hydrostatische Druck ist null.
6. „Nein. Aber du würdest sehen, was draußen ist." — Licht kommt nicht hinaus, aber von draußen herein.
7. „Es gibt sie wahrscheinlich nicht" — sie markiert den Punkt, an dem die ART versagt.
8. „Nichts! Gleiche Masse, gleiche Umlaufbahn."
9. Die kosmische Strahlung trifft die Erde seit Jahrmilliarden mit höheren Energien — folgenlos; Mini-schwarze-Löcher verdampfen per Hawking-Strahlung in $\sim {10}^{-26}$ s.
10. Millimeter (≈ 9 mm) — ein Körper braucht keine riesige Masse, nur genug Kompression.
11. Eine dimensional sinnlose Zahl — $T$ gehört in Sekunden.
12. Beschreibung = dass (Regelmäßigkeit in den Daten); Erklärung = warum (Herleitung aus grundlegenderen Prinzipien).