Thema 11 — Gravitationsphysik

Newton'sche Gravitation · Keplersche Gesetze · Allgemeine Relativitätstheorie · Gravitationswellen · schwarze Löcher

Hinweis: Den Weltbilderstreit (Aristoteles → Kepler → Einstein) findest du in Thema 7; die Raumfahrt-Rechnungen (Kreisbahn, geostationär, Fluchtgeschwindigkeit) in Thema 2.

Kapitel

• 11.1 Klassische Gravitationstheorie nach Newton
• 11.2 Die Gravitationsfeldstärke $g$
• 11.3 Cavendish-Experiment — G bestimmen
• 11.4 Die drei Keplerschen Gesetze
• 11.5 Allgemeine Relativitätstheorie (Einstein 1915)
• 11.6 Drei klassische Effekte der ART
• 11.7 Schwarze Löcher

Selfcheck

1. Erkläre Newtons Bergkanone — welche Vereinheitlichung steckt dahinter?
2. Schreibe das Gravitationsgesetz auf. Was bedeutet $r$, und wie wirkt der Abstand?
3. Leite $g=GM/r^2$ her. Warum wiegt man auf dem Mond ein Sechstel?
4. Formuliere die drei Keplerschen Gesetze. Warum ist ein Planet in Sonnennähe schneller?
5. Leite das Dritte Keplersche Gesetz aus Zentripetal = Gravitation her.
6. Was besagt das Äquivalenzprinzip? Wie folgt daraus die Lichtablenkung?
7. Was bedeutet „Gravitation = Raumkrümmung"?
8. Nenne die drei Effekte der ART und je eine Bestätigung.
9. Definiere Ereignishorizont und Schwarzschildradius ($R=2GM/c_0^2$). Berechne ihn grob für die Erde.
10. Wie weist man schwarze Löcher nach, wenn man sie nicht direkt sehen kann?
11. Warum gibt es auf beiden Erdseiten je einen Flutberg?
12. In welchem Sinne ist die Newton'sche Herleitung des Schwarzschildradius nur heuristisch?
13. Ist die mittlere Dichte eines schwarzen Lochs bei größerer Masse größer oder kleiner? Warum?
14. Gilt das zweite Keplersche Gesetz noch, wenn man die Gravitation plötzlich „abschaltet"?
15. Warum ist die ART eine „klassische" Theorie? Wie antwortest du auf die Nachfrage „Ist die ART falsch?"
16. Beschreibe die Demo mit der durchlöcherten Wasserflasche: Warum fließt im Fall kein Wasser mehr heraus? Was hat das mit Einsteins „glücklichstem Gedanken" von 1907 zu tun?
17. Würde die Sonne plötzlich zum schwarzen Loch — was passiert mit der Erdbahn? Und warum war die LHC-Klage von 2008 physikalisch unbegründet?
18. Skizziere die Chronologie der Weltbilder von Aristoteles bis Einstein. Was sind Epizykel, und welches Problem sollten sie lösen?
19. Mit welchen zwei Tricks gelang Cavendish die Messung von $G$? Erkläre Lichtzeiger und Parallelmessung.
20. Nenne zum Ereignis GW150914 die Quelle, die zwei Detektorstationen, die Frequenz (~?–? Hz), die Entfernung und den Nobelpreis. Warum braucht es zwei Stationen?
21. Was ist die Spaghettisierung, und durch welche Kraft entsteht sie? Warum zerreißt ein kleines schwarzes Loch dich schon außerhalb des Horizonts, ein supermassereiches dagegen nicht?

§§ANTWORTEN

1. Ein vom Berg geworfener Stein fällt in einer Parabel; wirft man ihn stark genug, krümmt sich die Bahn zur Umlaufbahn. Vereinheitlichung: Fallen und Umlaufen haben dieselbe Ursache — die Gravitation (Himmel = Erde). (§11.1)
2. $F_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$. $r$ ist der Abstand der Massenmittelpunkte (nicht der Oberflächen); die Kraft fällt mit $1/r^2$ (doppelter Abstand → ein Viertel der Kraft). (§11.1)
3. Aus $mg=G\frac{Mm}{r^2}$ kürzt sich die Probemasse heraus → $g=\frac{GM}{r^2}$. Auf dem Mond ist $M$ viel kleiner, daher $g_{\text{Mond}}\approx \frac{1}{6}{g}_{\text{Erde}}$ — man wiegt ein Sechstel, die Masse bleibt gleich. (§11.2)
4. 1. Ellipsenbahnen mit der Sonne im Brennpunkt; 2. der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen; 3. $\frac{T^2}{a^3}=$ konst. In Sonnennähe ist der Planet schneller wegen der Drehimpulserhaltung $L=mvr=$ konst. (§11.4)
5. Zentripetalkraft = Gravitation: $\frac{m{v}^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}\Rightarrow v^2=\frac{GM}{r}$. Mit $v=\omega r$, $\omega =2\pi /T$ folgt $\frac{4{\pi }^2{r}^3}{T^2}=GM$, also $\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}}}$. (§11.4)
6. Beschleunigung und Ruhe im Gravitationsfeld sind ununterscheidbar. Im beschleunigten Lift wird ein Lichtstrahl gekrümmt → weil Beschleunigung ≡ Gravitation, muss Licht auch im Schwerefeld abgelenkt werden. (§11.5)
7. Gravitation ist keine Anziehungskraft, sondern Krümmung der Raumzeit durch Masse; Körper folgen den „geraden Linien" (Geodäten) im gekrümmten Raum. (§11.5)
8. Periheldrehung Merkur (klassisch unerklärbar, ART erklärt sie); Lichtablenkung (1919 Eddington, Sonnenfinsternis); Gravitationswellen (indirekt Hulse-Taylor-Pulsar, direkt LIGO 2015). (§11.6)
9. Am Ereignishorizont gilt $v_F=c_0$ — nichts (auch kein Licht) entkommt von innen. Schwarzschildradius aus $c_0^2=\frac{2GM}{R}$: $R=\frac{2GM}{c_0^2}$; für die Erde $R\approx 9$ mm. (§11.7)
10. Indirekt über die leuchtende Akkretionsscheibe (einstürzende Materie heizt sich auf, strahlt EM ab) bzw. den Schatten des Ereignishorizonts (Bild M87*, EHT 2019) sowie über Gravitationslinsen/Einstein-Ringe. (§11.7)
11. Mondnahe Seite: Die Mondgravitation ist dort am stärksten, das Wasser wird zum Mond gezogen; mondferne Seite: Erde und Mond kreisen um das gemeinsame Baryzentrum, dort ist die Zentrifugenwirkung am stärksten, das Wasser wird nach außen geschleudert — beide Flutberge etwa gleich hoch. Die Erdgravitation ist zwar stärker, wirkt aber überall gleich; die Gezeiten kommen gerade aus der Ungleichmäßigkeit der Mondwirkung. (§11.2)
12. Sie benutzt die Newton'sche kinetische Energie $\frac{m{v}^2}{2}$ und behandelt Licht als Wurfkörper mit Masse — aber Licht hat keine Ruhemasse, und $v\approx c$ liegt außerhalb des Geltungsbereichs der Newton'schen Mechanik. Das strenge Resultat ist Schwarzschilds exakte Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen (1916); dass die Newton'sche Rechnung dieselbe Formel liefert, ist ein glücklicher Zufall. (§11.7)
13. Kleiner: $\rho =\frac{3c_0^6}{32\pi G^3{M}^2}\propto 1/M^2$ ($R\propto M$ → Volumen $\propto M^3$, Masse aber nur $\propto M$). (§11.7)
14. Ja. Der Planet fliegt geradlinig-gleichförmig davon, legt in gleichen Zeiten gleich lange Strecken zurück; die Dreiecke mit der Sonne als Spitze haben gleiche Grundseiten und dieselbe Höhe → gleiche Flächen. Der Flächensatz ist nur die geometrische Form der Drehimpulserhaltung und unabhängig von der Ellipsenbahn. (§11.4)
15. Klassisch = keine Quantentheorie: Die ART ist eine kontinuierliche Feldtheorie der Raumzeit; ihre Vereinheitlichung mit der Quantentheorie ist bis heute gescheitert. Zu „falsch?": „Falsch heißt nicht, dass alles falsch wäre — die klassische Mechanik ist in dem Sinn genauso falsch" — Theorien haben Geltungsbereiche; in ihrem Bereich ist die ART extrem genau bestätigt, an der Singularität versagt sie. (§11.5)
16. In Ruhe drückt der hydrostatische Druck das Wasser aus den Löchern; im freien Fall ist alles schwerelos, der hydrostatische Druck ist null → es fließt nichts mehr heraus. Die Demo zeigt „freier Fall ≡ Schwerelosigkeit" — wie der Berliner Dachdecker, der beim Sturz vom Dach sein eigenes Gewicht nicht spürte und Einstein zu „dem glücklichsten Gedanken meines Lebens" (1907) führte: dem Äquivalenzprinzip. (§11.5)
17. „Nichts! Gleiche Masse, gleiche Umlaufbahn." — Die Gravitation hängt nur von Masse und Abstand ab (Schalentheorem); ein schwarzes Loch „saugt" nicht alles auf, es würde nur nach 8 Minuten dunkel und kalt. LHC-Klage: Die kosmische Strahlung trifft die Erde seit Milliarden Jahren mit höheren Energien — folgenlos; Mini-schwarze-Löcher verdampfen per Hawking-Strahlung in ~${10}^{-26}$ s. (§11.7)
18. Aristoteles (Geozentrik) → Ptolemäus (Epizykel) → Kopernikus (Heliozentrik) → Kepler (Ellipsen) → Newton (Gravitationskraft) → Einstein/ART (Raumkrümmung). Epizykel = kleine Kreise, auf denen ein Planet läuft, während ihr Mittelpunkt einen großen Kreis (Deferent) um die Erde zieht; sie sollten im geozentrischen Bild die beobachtete Rückläufigkeit (Planetenschleifen) retten. Die Heliozentrik erklärt dieselben Schleifen einfacher, Keplers Ellipsen machen die Epizykel überflüssig. (§11.1; Details in Thema 7)
19. ① Lichtzeiger (Spiegel-Trick): ein Spiegel am Torsionsfaden wirft einen Lichtstrahl auf eine ferne Skala; der winzige Verdrehwinkel $\alpha$ wird optisch verdoppelt ($2\alpha$) und über die große Entfernung zu einem messbaren Ausschlag verstärkt. ② Parallelmessung: der Faden wird mit einer bekannten Kraft bzw. über die Schwingungsdauer als Drehpendel kalibriert (Richtgröße $D$), sodass der Gravitations-Ausschlag direkt die winzige Kraft $F_G$ liefert. (§11.3; Detail in Thema 4)
20. GW150914 (14.09.2015): Quelle = Verschmelzung zweier schwarzer Löcher (≈ 36 + 29 $M_{\odot }$); Stationen = Hanford & Livingston (≈ 3000 km Abstand); Frequenz ≈ 35 → 250 Hz (Chirp); Entfernung ≈ 1,3 Mrd. Lichtjahre; Physik-Nobelpreis 2017 (Weiss/Barish/Thorne). Zwei Stationen, weil nur ein Koinzidenz-Signal in beiden weit entfernten Detektoren (mit ≈ 7 ms Zeitversatz) eine echte Welle von lokalen Störungen unterscheidet. Detektortyp: Michelson-Interferometer, 2 Arme à 4 km. (§11.6)
21. Spaghettisierung: die extreme Gezeitenkraft (= Differenz der Gravitation, $F_G\propto 1/r^2$, zieht die Füße viel stärker als den Kopf) streckt den Körper radial und presst ihn quer zusammen → er wird zum „Faden" (Spaghetti). Bei einem kleinen schwarzen Loch ist die Gezeitenkraft schon weit außerhalb des Horizonts tödlich; bei einem supermassereichen ist der Gradient am riesigen Horizont so sanft, dass man ihn unzerrissen überquert. (§11.7; vgl. Gezeitenkraft, Thema 3)