2.3 Der geostationäre Satellit

Quelle: Themenpool §2 · Mitschrift §7.6

Definition

Ein geostationärer Satellit steht von der Erde aus gesehen immer über demselben Punkt — er scheint am Himmel stillzustehen. Dafür müssen drei Bedingungen gelten:

Seine Umlaufzeit ist ein Sterntag (genau gleich der Erddrehung); seine Bahn liegt über dem Äquator und läuft in Drehrichtung der Erde.

✎ Warum ein „Sterntag" (23 h 56 min) und nicht 24 h? Ein Sterntag ist die Zeit für eine volle Erddrehung relativ zu den Sternen. Die 24 h (Sonnentag) sind etwas länger, weil die Erde zugleich um die Sonne wandert und sich darum noch ein kleines Stück weiterdrehen muss, bis die Sonne wieder am selben Punkt steht. Für „immer über demselben Erdpunkt" zählt die echte Drehung — also der Sterntag. (Wikipedia: Geostationary orbit)

✎ Warum muss die Bahn über dem Äquator liegen? Weil die Gravitation immer zum Erdmittelpunkt zeigt — und die Zentripetalkraft zum Mittelpunkt der Bahn zeigen muss. Also muss die Ebene jeder Satellitenbahn durch den Erdmittelpunkt gehen. Ein Satellit, der über Wien (48° Nord) „schweben" soll, müsste auf einem kleinen Kreis um die Erdachse laufen, dessen Mittelpunkt auf der Achse, aber nicht im Erdmittelpunkt liegt — eine solche Zentripetalkraft kann die Gravitation nicht liefern (die Komponente längs der Erdachse bliebe unausgeglichen). Eine geneigte Bahn durch den Erdmittelpunkt kann zwar die richtige Umlaufzeit haben, aber der Satellit pendelt dann täglich zwischen Nord- und Südhalbkugel (von der Erde aus eine „8"-Figur). Die einzige Bahn, die durch den Erdmittelpunkt geht und nicht nord-süd pendelt, ist die in der Äquatorebene.

✎ Dieselbe „Synchron"-Logik: Die Rotationsperiode des Mondes ist genau gleich seiner Umlaufzeit um die Erde (gebundene Rotation — durch Gezeitenkräfte „eingerastet") — darum sieht man von der Erde immer dieselbe Mondseite; und umgekehrt sieht jemand auf der erdzugewandten Mondseite die Erde immer am Himmel stehen, sie geht nie unter. Das ist dasselbe Prinzip wie beim geostationären Satelliten: zwei gleiche Drehperioden.

Anwendungen: Satellitenfernsehen, Telekommunikation, Wettersatelliten, Spionagesatelliten, GPS/Navigation. ✎ Auf der Nordhalbkugel zeigt die Satellitenschüssel deshalb immer nach Süden — zum Satelliten über dem Äquator.

✎ Vorsicht: GPS-Satelliten sind NICHT geostationär! Navigationssatelliten (GPS, Galileo, …) laufen auf einer mittelhohen Erdumlaufbahn (MEO, Medium Earth Orbit) in ca. 20 200 km Höhe — also deutlich tiefer als der geostationäre Ring (35 800 km). Ihre Umlaufzeit beträgt rund 12 Stunden (nicht einen Sterntag), sie „stehen" also nicht still, sondern ziehen über den Himmel. Schritt für Schritt, warum gerade so:

1. Warum nicht geostationär (still stehend)? Zur Ortsbestimmung braucht ein Empfänger gleichzeitig mehrere Satelliten aus verschiedenen Richtungen (Triangulation). Stünden alle starr über dem Äquator, wäre die Geometrie schlecht und es gäbe nahe den Polen tote Winkel.
2. Warum überhaupt so hoch (MEO statt ganz tief)? Je höher, desto größer der vom Satelliten überblickte Bereich und desto stabiler (langsamer driftend) die Bahn — ein guter Kompromiss aus Abdeckung und Signalstärke.
3. Relativistische Pointe: GPS funktioniert nur, weil man beide Relativitätstheorien einrechnet: Die Uhren oben gehen durch die schwächere Gravitation schneller (ART) und durch die Bahngeschwindigkeit langsamer (SRT); netto gehen sie pro Tag um einige Mikrosekunden vor. Unkorrigiert würde der Ortsfehler pro Tag um mehrere Kilometer anwachsen.

Herleitung des Bahnradius Schritt für Schritt

Die Idee: Statt der Geschwindigkeit $v$ ist hier die Umlaufzeit $T$ vorgegeben (ein Sterntag). Wir müssen daher $v$ durch $T$ ausdrücken und dann nach dem Radius $r$ auflösen.

Schritt 1 — wieder Kräftegleichgewicht ansetzen. Genau wie in §2.2 liefert die Gravitation die Zentripetalkraft. Wir starten bei der schon hergeleiteten Bahngeschwindigkeit:

$$v=\sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}⟺v^2=\frac{G\cdot M}{r}$$

Schritt 2 — Bahngeschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzen. Auf einer Kreisbahn hängen Bahngeschwindigkeit $v$ und Winkelgeschwindigkeit $\omega$ über $v=\omega \cdot r$ zusammen (ein Punkt weiter außen legt im gleichen Zeittakt einen längeren Bogen zurück). Einsetzen von $v=\omega r$, also $v^2={\omega }^2{r}^2$:

$${\omega }^2\cdot r^2=\frac{G\cdot M}{r}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit (${360}^{\circ }=2\pi$)	rad/s
$T$	Umlaufzeit (für eine volle Drehung)	s
$v$	Bahngeschwindigkeit $=\omega r$	m/s

Schritt 3 — beide Seiten mit $r$ multiplizieren. Damit kommt das $r^2$ unten rechts weg und wir sammeln die $r$-Potenzen links zu $r^3$:

$${\omega }^2\cdot r^3=G\cdot M$$

Schritt 4 — $\omega$ durch die Umlaufzeit $T$ ausdrücken. Eine volle Umdrehung ist der Winkel $2\pi$ in der Zeit $T$, also $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$. Quadriert: ${\omega }^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}$. Einsetzen:

$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}\cdot r^3=G\cdot M$$

Schritt 5 — nach $r^3$ auflösen. Wir multiplizieren beide Seiten mit ${\displaystyle \frac{T^2}{4{\pi }^2}}$ (die ganze Vorzahl rüberholen), sodass links nur noch $r^3$ steht:

$$r^3=\frac{G\cdot M\cdot T^2}{4{\pi }^2}$$

Schritt 6 — dritte Wurzel ziehen. Weil links $r^3$ (Volumen-Potenz) steht, holen wir $r$ mit der Kubikwurzel heraus:

$$\boxed{{\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{G\cdot M\cdot T^2}{4{\pi }^2}}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$r$	Bahnradius (Erdmittelpunkt → Satellit)	m
$G$	Gravitationskonstante	N·m²/kg²
$M$	Masse der Erde	kg
$T$	Umlaufzeit = 1 Sterntag	s

Rechenbeispiel

$T=24\cdot 3600=86400$ s (hier mit den runden 24 h gerechnet; der exakte Sterntag 86,164 s verschiebt das Ergebnis nur um ~80 km), $M=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg:

$$r=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}\cdot 86{400}^2}{4{\pi }^2}}\approx 4,22\cdot {10}^7\text{ m}\approx 42200\text{ km}$$

Höhe über der Erdoberfläche: $h=r-R_E\approx 42200-6370\approx 35800$ km. (Wikipedia: Geostationary orbit)

✎ Nebenbei lässt sich die Bahngeschwindigkeit ausrechnen: $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot 4,22\cdot {10}^7}{86400}}\approx 3,1$ km/s — deutlich langsamer als die ISS mit $7,7$ km/s, passend zu „je höher die Bahn, desto langsamer".

Klausurfalle: $T$ immer in Sekunden einsetzen!