9.3a Schrödinger-Gleichung, de Broglie-Wellen und Born'sche Deutung

Quelle: Mappe S. 95 · ➕ Themenpool

§9.3 hat die Wellenfunktion $\psi$ eingeführt und gezeigt, dass $|\psi {|}^2$ die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist. Es bleiben zwei Fragen offen: Woher kommt $\psi$ (welche Gleichung bestimmt sie?) und warum hat überhaupt Materie Wellencharakter? Das beantworten de Broglie, Schrödinger und Born.

De-Broglie-Materiewellen (1924)

Louis de Broglie kehrte den Welle-Teilchen-Gedanken um: Wenn Licht (eine Welle) auch Teilchen ist (Photon), dann sollte auch Materie (Teilchen) eine Welle sein. Jedem Teilchen mit Impuls $p=mv$ wird eine Materiewelle (de-Broglie-Welle) mit der Wellenlänge zugeordnet:

$$\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$\lambda$	de-Broglie-Wellenlänge	m
$h$	Planck-Konstante $=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$	Js
$m$	Masse des Teilchens	kg
$v$	Geschwindigkeit des Teilchens	m/s

✎ Warum merken wir im Alltag nichts davon? $\lambda =h/(mv)$ ist für makroskopische Körper absurd klein (eine fliegende Billardkugel hat $\lambda \sim {10}^{-34}$ m — unmessbar). Erst bei sehr kleiner Masse (Elektron) wird $\lambda$ groß genug, um Beugung/Interferenz zu zeigen — genau das, was im Doppelspalt mit Elektronen passiert.

Davisson-Germer-Experiment (1927) — der experimentelle Beweis

Davisson und Germer schossen Elektronen auf einen Nickel-Kristall und beobachteten ein Beugungsmuster — so, wie es sonst nur Wellen an einem Gitter erzeugen (das regelmäßige Kristallgitter wirkt als Beugungsgitter, vgl. Optik). Damit war de Broglies Materiewelle experimentell bewiesen: Elektronen (klassische Teilchen!) zeigen Beugung, und die gemessene Wellenlänge stimmte mit $\lambda =h/(mv)$ überein. Elektronenbeugung ist heute die Grundlage des Elektronenmikroskops (kurze $\lambda$ → hohe Auflösung).

Die Schrödinger-Gleichung (1926)

Erwin Schrödinger stellte 1926 die Grundgleichung der Quantenmechanik auf — sie spielt für die Wellenfunktion $\psi$ dieselbe Rolle wie Newtons $F=ma$ für die klassische Bahn: Sie bestimmt, wie sich $\psi$ mit der Zeit entwickelt. In ihrer zeitabhängigen Form:

$$\boxed{{\displaystyle i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi }}$$

Symbol	Bedeutung
$\psi$	Wellenfunktion (komplex; $\psi =\psi (\overrightarrow{r},t)$)
$\hat{H}$	Hamilton-Operator (steht für die Gesamtenergie: kinetische + potentielle)
$\hslash$	reduziertes Wirkungsquantum $=h/2\pi$
$i$	imaginäre Einheit ($i^2=-1$)
$\frac{\partial \psi }{\partial t}$	zeitliche Änderung von $\psi$

✎ Was bedeutet die Gleichung anschaulich? Der Hamilton-Operator $\hat{H}$ kodiert alle Kräfte/Energien, die auf das Teilchen wirken (z. B. die Anziehung des Atomkerns). Die Gleichung sagt dann deterministisch voraus, wie sich $\psi$ in der Zeit verändert. Wichtig: Schrödinger liefert die Entwicklung von $\psi$ — was $\psi$ bedeutet (nämlich $|\psi {|}^2$ = Wahrscheinlichkeit, §9.3), ist eine separate Aussage (Born, siehe unten). Die diskreten Energieniveaus der Atome (§9.2, §9.2a) ergeben sich, wenn man diese Gleichung für ein gebundenes Elektron löst — ganz ohne Bohrs künstliches Bahnpostulat.

✎ Für seine Gleichung erhielt Schrödinger den Nobelpreis 1933 (gemeinsam mit Dirac).

Born'sche Deutung (Max Born 1926)

Schrödinger selbst hielt $\psi$ zunächst für eine reale Welle. Max Born gab 1926 die heute gültige Wahrscheinlichkeitsdeutung: $|\psi {|}^2$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte — die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem kleinen Volumen $\mathrm{d}V$ um einen Ort anzutreffen, ist $|\psi {|}^2\mathrm{d}V$. (Das ist die mathematisch präzise Form der Aussage „$|\psi {|}^2$ = Aufenthaltswahrscheinlichkeit" aus §9.3.)

Daraus folgt die Normierungsbedingung: Da das Teilchen sich irgendwo im Raum aufhalten muss, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit über den ganzen Raum gleich $1$:

$$\boxed{{\displaystyle \int |\psi {|}^2\mathrm{d}V=1}}$$

✎ Bedeutung der Normierung: Sie ist die Quanten-Version von „100 % Wahrscheinlichkeit". Sie schränkt die erlaubten Lösungen $\psi$ der Schrödinger-Gleichung ein (nur normierbare $\psi$ sind physikalisch sinnvoll) — und genau diese Randbedingung erzwingt bei gebundenen Teilchen die diskreten Energieniveaus (siehe §9.3b, Potentialtopf). Für diese Deutung erhielt Born den Nobelpreis 1954. Mit Born wird der Indeterminismus der Quantenmechanik endgültig: $\psi$ entwickelt sich zwar deterministisch (Schrödinger), das Messergebnis ist aber nur wahrscheinlich vorhersagbar — die Wurzel des Quantenzufalls (§9.8).