14.6 Spezifischer Widerstand

Quelle: Mitschrift §5.1.9

Der Widerstand eines Drahtes hängt nicht nur vom Material, sondern auch von seiner Form ab:

$$\boxed{{\displaystyle R=\varrho \cdot \frac{l}{A}}}$$

Symbol	Bedeutung
$R$	Widerstand des Leiters
$\varrho$	spezifischer Widerstand (material- und temperaturabhängig), Einheit $\mathrm{\Omega }\cdot$m
$l$	Länge des Leiters
$A$	Querschnittsfläche

✎ Woher die Formel kommt — jede Abhängigkeit einzeln begründet.

1. Länger ⇒ mehr Widerstand ($R\propto l$): Auf einem längeren Weg muss ein Elektron an mehr Atomrümpfen vorbei und wird öfter abgebremst (mehr Wechselwirkungen). Doppelte Länge = doppelt so viele „Hindernisse" = doppelter Widerstand. (Wie zwei gleiche Widerstände in Reihe: $R_{\text{ges}}=2R$.)
2. Dicker ⇒ weniger Widerstand ($R\propto 1/A$): Ein größerer Querschnitt $A$ bietet mehr parallele „Fahrspuren" für die Elektronen → es passt mehr Strom durch, der Widerstand sinkt. Doppelter Querschnitt = halber Widerstand. (Wie zwei Widerstände parallel.) Deshalb steht $A$ im Nenner.
3. Material ⇒ $\varrho$: Der spezifische Widerstand $\varrho$ fasst zusammen, wie stark ein bestimmtes Material die Elektronen bremst (unabhängig von der Form). Gold/Kupfer haben kleines $\varrho$ (gute Leiter), Eisen/Blei größeres (schlechtere Leiter).
4. Heißer ⇒ mehr Widerstand: Bei höherer Temperatur schwingen die Atomrümpfe heftiger → die Elektronen stoßen häufiger an → mehr Bremsung. Das steckt in $\varrho$ (temperaturabhängig) und ist die Grundlage von §14.7.

✎ Rechenbeispiel — Kupferkabel, Schritt für Schritt. $l=100$ m, Durchmesser $d=1$ mm $={10}^{-3}$ m, ${\varrho }_{\text{Cu}}\approx 1,7\cdot {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\text{m}$.

1. Querschnittsfläche (Kreis): $A=\pi {\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2=\pi (0,5\cdot {10}^{-3}\text{m}{)}^2\approx 7,85\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2$.
2. Einsetzen: $R=\varrho {\displaystyle \frac{l}{A}}=1,7\cdot {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\text{m}\cdot {\displaystyle \frac{100\text{m}}{7,85\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}}$.
3. Ausrechnen: ${\displaystyle \frac{100}{7,85\cdot {10}^{-7}}}\approx 1,27\cdot {10}^8$, mal $1,7\cdot {10}^{-8}$ → $R\approx \mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{17}\mathbf{\Omega }$. (So klein ist der Widerstand einer langen Kupferleitung — genau deshalb verwendet man Kupfer für Kabel.)