6.2 Exkurs: Spezielle Relativitätstheorie und das Myonenproblem

Quelle: Themenpool §6 · Mitschrift §3.3.8

Das Myonenproblem ist ein direkter Beweis für die Spezielle Relativitätstheorie — und ein Lieblingsthema für Nachfragen.

Das Problem (Schritt für Schritt). Myonen sind instabile Teilchen aus der Sekundärstrahlung; sie entstehen in $h\approx 20$ km Höhe und leben im Mittel nur ${\tau }_{\mu }=2,2\cdot {10}^{-6}$ s. Rechnen wir klassisch nach, wie weit sie kommen:

1. Maximale klassische Reichweite = schnellstmögliche Geschwindigkeit $\times$ Lebensdauer. Schneller als Licht geht nicht, also $v\le c$: $d_{\text{max}}=c\cdot {\tau }_{\mu }$.
2. Einsetzen: $d_{\text{max}}=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2,2\cdot {10}^{-6}\text{s}\approx 660$ m.
3. $660$ m ist viel zu wenig für die 20 km bis zum Boden — klassisch dürften die Myonen nie ankommen. Trotzdem misst man sie am Boden. Wie?

Erklärung (Einstein 1905): Zeit und Länge sind nicht absolut, sondern hängen vom Bezugssystem ab. Es gibt zwei völlig gleichwertige Wege, das aufzulösen — je nachdem, aus wessen Sicht man rechnet.

Weg A — Zeitdilatation (aus Sicht der Erde)

$$t_b=\frac{t_e}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$t_e$	Eigenzeit — gemessen im mitbewegten System (Uhr des Myons), die kürzere Zeit	s
$t_b$	Zeit, die der ruhende Beobachter (Erde) misst, die längere Zeit	s
$v$	Relativgeschwindigkeit	m/s
$c$	Lichtgeschwindigkeit $\approx 3\cdot {10}^8$	m/s

Zeitdilatation: Bewegte Uhren gehen langsamer. Der Wurzelausdruck ist immer kleiner als 1 (weil $v^2/c^2<1$), also ist $t_b$ immer größer als $t_e$ — die ruhende Erd-Uhr misst die längere Zeit. Logik der Anwendung:

1. Die Lebensdauer ${\tau }_{\mu }=2,2\mu$s misst das Myon an der eigenen Uhr — das ist die Eigenzeit $t_e$ (sie ruht relativ zum Myon).
2. Wir auf der Erde sehen die Myon-Uhr langsamer gehen; für uns lebt das Myon die längere Zeit $t_b={\displaystyle \frac{t_e}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$.
3. In dieser längeren Zeit legt es bei nahezu $c$ die Strecke $d=v\cdot t_b\gg 660$ m zurück — bei $v\approx \mathrm{0,999}5c$ wird $t_b$ rund das 32-Fache von $t_e$, also $d\approx 32\cdot 660\text{m}\approx 21$ km. So „lebt" das Myon für uns lange genug, um die 20 km zu schaffen.

Weg B — Längenkontraktion (aus Sicht des Myons)

$${\ell }_b={\ell }_e\cdot \sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}$$

${\ell }_e\dots$ Strecke, gemessen im System, in dem sie ruht (für uns: die 20 km Atmosphäre), die längere Länge; ${\ell }_b\dots$ Länge im bewegten System (Sicht des Myons), die kürzere. Längenkontraktion: Bewegte Strecken sind verkürzt.

1. Das Myon „merkt" seine eigene kurze Lebensdauer ${\tau }_{\mu }=2,2\mu$s ganz normal — für sich selbst lebt es nicht länger.
2. Dafür ist aus seiner Sicht die Atmosphäre entgegengeflogen und dabei verkürzt: statt 20 km nur ${\ell }_b=20\text{km}\cdot \sqrt{1-v^2/c^2}$ — bei $v\approx \mathrm{0,999}5c$ nur noch ca. 630 m.
3. Diese kurze Strecke schafft das Myon mit seiner kurzen Lebenszeit: ${\ell }_b\approx 630\text{m}\le v\cdot {\tau }_{\mu }\approx 660$ m.

Beide Beschreibungen sind exakt äquivalent — sie liefern dasselbe Ergebnis (das Myon kommt an), nur das Bezugssystem ist anders: Was der eine als gedehnte Zeit beschreibt, beschreibt der andere als verkürzte Strecke.

✎ Wichtige Feinheiten: • Wer selbst betroffen ist, merkt nichts — aus eigener Sicht ist alles normal, nur die Außenwelt ist verändert. • Wegen des $v^2$ wächst der Effekt erst nahe $c$ dramatisch. Für ein Photon vergeht gar keine Zeit. Dieselbe Wurzel $\sqrt{1-v^2/c^2}$ steckt auch hinter der relativistischen Massenzunahme (mit wachsender Geschwindigkeit nimmt die Masse eines Körpers zu und wird bei $v\to c$ unendlich groß — deshalb kann nichts mit Ruhemasse je $c$ erreichen). • ✎ Achtung Schreibweise: Themenpool/Mitschrift notieren $t_b=t_r\sqrt{1-v^2/c^2}$ — dort ist $t_b$ die Zeit im bewegten System (Eigenzeit) und $t_r$ die des ruhenden Beobachters. Das ist dieselbe Formel wie oben, nur umgestellt und mit anders benannten Indizes; der Inhalt bleibt: die bewegte Uhr zeigt weniger an. • ✎ ${\tau }_{\mu }$ ist ein Mittelwert (exponentieller Zerfall). Klassisch käme nur ein Anteil von etwa ${\mathrm{e}}^{-20000/660}\approx {10}^{-13}$ an — praktisch kein einziges Myon. Gemessen wird aber ein großer Teil → die klassische Physik scheitert eindeutig, nicht nur „knapp".