14.3 Coulomb-Gesetz

Quelle: Mitschrift §5.1.6

Das elektrische Kraftgesetz beschreibt die Anziehung/Abstoßung zwischen punkt- bzw. kugelförmigen Ladungen:

$$\boxed{{\displaystyle F_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$F_C$	Coulomb-Kraft	N
$Q_1,Q_2$	die beiden Ladungen	C
$r$	Abstand	m
${\epsilon }_0$	elektrische Feldkonstante $=8,85\cdot {10}^{-12}$	As/Vm

✎ Wie liest man die Formel? (jeder Faktor einzeln)

• $\propto Q_1\cdot Q_2$: Verdoppelt man eine Ladung, verdoppelt sich die Kraft; verdoppelt man beide, vervierfacht sie sich. Plausibel: jede Ladung „spürt" das Feld der anderen.
• $\propto 1/r^2$: Die Kraft fällt mit dem Quadrat des Abstands (siehe „warum quadratisch" gleich darunter).
• ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}$: nur ein Umrechnungsfaktor, der die Einheiten passend macht (${\epsilon }_0\dots$ elektrische Feldkonstante). Das $4\pi$ steckt da, weil sich das Feld auf eine Kugeloberfläche $4\pi r^2$ verteilt.
• Vorzeichen: Gleiche Ladungen ($Q_1{Q}_2>0$) → Abstoßung; ungleiche ($Q_1{Q}_2<0$) → Anziehung.

✎ Warum steht im Nenner $r^2$? (genau dasselbe Argument wie beim Gravitationsgesetz)

1. Eine Ladung sendet ihr Feld gleichmäßig in alle Richtungen aus.
2. In der Entfernung $r$ verteilt sich dieses Feld auf eine Kugeloberfläche $O=4\pi r^2$ — die wächst mit dem Quadrat von $r$.
3. Verdoppelt man $r$, wird die Fläche $2^2=4$-mal so groß; dieselbe „Feldmenge" verteilt sich auf die 4-fache Fläche → an jedem Punkt nur noch ein Viertel → $F\propto 1/r^2$.

✎ Gleiche Struktur wie das Gravitationsgesetz ($\propto Q_1{Q}_2/r^2$) — aber zwei Unterschiede: (1) Coulomb kann anziehen und abstoßen (Ladungen haben Vorzeichen), Gravitation nur anziehen (Masse ist immer positiv). (2) Die Coulomb-Kraft ist enorm viel stärker als die Gravitation zwischen denselben Teilchen — deshalb dominiert im Atom/Kern die elektrische Kraft, im Großen (Planeten, Sterne) die Gravitation (weil große Körper insgesamt neutral sind, hebt sich Coulomb dort weg).

✎ Rechenbeispiel — Anziehung zwischen Elektron und Proton im Wasserstoffatom (Unterrichtsbeispiel). $r={10}^{-10}$ m (Radius des H-Atoms), $|Q_1|=|Q_2|=e$:

$$F_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{e^2}{r^2}=8,99\cdot {10}^9\cdot \frac{(1,6\cdot {10}^{-19}{)}^2}{({10}^{-10}{)}^2}\approx 2,3\cdot {10}^{-8}\text{N}$$

Das wirkt winzig — aber die Gravitation zwischen denselben beiden Teilchen beträgt nur etwa ${10}^{-47}$ N: Die Coulomb-Kraft ist rund 39 Größenordnungen stärker. Genau diese Kraft „bindet" das Elektron an den Kern.