2.2 Satellit auf einer Kreisbahn

Quelle: Themenpool §2 · Mitschrift §7.5

Grundidee

✎ Warum fällt ein Satellit nicht herunter? Er fällt ständig — nur ist er so schnell, dass die Erde unter ihm gleich schnell wegkrümmt. Er „verfehlt" den Boden immerzu. Das ist genau Newtons Gedanke vom Berg (siehe Gravitationsphysik).

Damit das stabil bleibt, muss die nach innen ziehende Kraft genau die Zentripetalkraft sein, die eine Kreisbahn verlangt. Diese Kraft ist hier die Gravitation:

$$F_{\text{ZP}}=F_G$$

Herleitung Schritt für Schritt

Schritt 1 — Ansatz aufschreiben. Wir setzen die beiden Kräfte ihren Formeln nach gleich: links die Zentripetalkraft $F_{\text{ZP}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$, rechts die Gravitationskraft $F_G=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}=G\cdot \frac{M\cdot m}{r^2}$$

Schritt 2 — Satellitenmasse $m$ herauskürzen. Auf beiden Seiten steht der Faktor $m$ → wir teilen die ganze Gleichung durch $m$. Er verschwindet vollständig:

$$\frac{v^2}{r}=G\cdot \frac{M}{r^2}$$

Das ist der entscheidende Schritt: Weil die Satellitenmasse wegfällt, braucht ein Satellit auf einer bestimmten Bahn immer dieselbe Geschwindigkeit — egal wie schwer er ist. (Eine Feder und ein Lastwagen würden dieselbe Bahn gleich schnell durchlaufen.)

✎ Nachfrage: Präsident Eisenhowers Frage (1957). Nach dem Sputnik-Start fragte der US-Präsident seine wissenschaftlichen Berater: „Wir kennen Höhe und Bahngeschwindigkeit genau — können Sie daraus die Masse berechnen?" Die Antwort ist nein — gerade weil sich $m$ auf beiden Seiten der Gleichung herauskürzt, steckt in den Bahndaten keinerlei Information über die Satellitenmasse. Die Masse lässt sich nur über eine Wechselwirkung bestimmen, z. B. durch einen Stoß mit einem Körper bekannter Masse und die Impulserhaltung.

Schritt 3 — nach $v^2$ auflösen. Wir multiplizieren beide Seiten mit $r$, damit links nur noch $v^2$ steht. Rechts kürzt sich dabei ein $r$ weg ($\frac{r}{r^2}=\frac{1}{r}$):

$$v^2=\frac{G\cdot M}{r}$$

Schritt 4 — Wurzel ziehen. Um von $v^2$ auf $v$ zu kommen, ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel:

$$\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$v$	Bahngeschwindigkeit	m/s
$G$	Gravitationskonstante $=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}$	N·m²/kg²
$M$	Masse des Zentralkörpers (z. B. Erde)	kg
$r$	Bahnradius vom Zentrum des Zentralkörpers	m

Wichtig: $r$ ist der Erdradius + Höhe, nicht nur die Flughöhe!

Es gilt:

1. Je höher die Bahn (größeres $r$), desto langsamer der Satellit.
2. Die Umlaufzeit folgt aus Bahnumfang ÷ Geschwindigkeit:

$$T=\frac{U}{v}=\frac{2\pi r}{v}$$

Rechenbeispiel ISS

Erdradius $R_E=6370$ km, Flughöhe $h=400$ km → $r=6770000$ m; $M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg.

$$v=\sqrt{\frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{6770000}}\approx 7670\text{ m/s}\approx 7,7\text{ km/s}$$$$T=\frac{2\pi \cdot 6770000}{7670}\approx 5546\text{ s}\approx 92\text{ min}\approx 1,54\text{ h}$$

✎ Die ISS umrundet die Erde also etwa 16-mal pro Tag — die Crew erlebt 16 Sonnenauf- und -untergänge täglich. (NASA: ISS Facts)

✎ Setzt man in $v=\sqrt{GM/r}$ statt der ISS-Höhe einen Radius direkt an der Erdoberfläche ein ($r=R_E$), ergibt sich $v\approx 7,9$ km/s. Diese Geschwindigkeit einer erdnahen Kreisbahn heißt erste kosmische Geschwindigkeit — die kleinste Geschwindigkeit, mit der ein Körper die Erde überhaupt auf einer Kreisbahn umrunden kann. (Die ISS ist mit $7,7$ km/s etwas langsamer, weil sie 400 km höher fliegt — größeres $r$, kleineres $v$.)

✎ Nachfrage: Warum müssen Satelliten überhaupt so hoch fliegen — weil oben die Gravitation schwächer ist? Nein. Hätte die Erde keine Atmosphäre (und keine Berge im Weg), könnte ein Satellit in Baumwipfelhöhe mit etwa $7,9$ km/s umlaufen — die Höhe dient nur dazu, dem Luftwiderstand zu entkommen. In ISS-Höhe (400 km) beträgt die Gravitation noch etwa $89\mathrm{\%}$ des Oberflächenwerts ($(6370/6770{)}^2\approx 0,89$). Die „Schwerelosigkeit" der Astronauten kommt also nicht von fehlender Gravitation, sondern daher, dass sie mit der Station zusammen im freien Fall sind — wie am Anfang dieses Abschnitts: Umlaufen ist ein Fallen, das den Boden nie erreicht.

✎ Nachfrage: das Wiedereintritts-Paradoxon (Sputnik, 1958). Als die dünne Atmosphäre den Satelliten durch Reibung abbremste, beobachtete man, dass er immer schneller wurde — warum? Die Reibung verringert die Gesamtenergie → der Satellit spiralt auf eine tiefere Bahn → nach $v=\sqrt{GM/r}$ bedeutet kleineres $r$ ein größeres $v$. Energiebilanz: Beim Absinken wird mehr potentielle Energie frei, als die Reibung verbraucht — der Überschuss wird zu kinetischer Energie. Die Reibung nimmt Energie weg; der Geschwindigkeitsgewinn kommt vom Fallen — „Reibung beschleunigt den Satelliten" ist nur der Anschein.