5.1 Grundbegriffe

Quelle: Themenpool §5 · Mitschrift §4.3.1–§4.3.2

Geschwindigkeit

Warum ein Grenzwert? Geschwindigkeit ist anschaulich „Weg pro Zeit". Über ein langes Intervall bekommt man aber nur die Durchschnittsgeschwindigkeit — alle Schwankungen dazwischen werden weggemittelt. Will man wissen, wie schnell der Körper in genau diesem Augenblick ist, muss man das Intervall immer kleiner machen.

1. Durchschnittsgeschwindigkeit über ein endliches Intervall: $\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$. $\mathrm{\Delta }s\dots$ zurückgelegter Weg; $\mathrm{\Delta }t\dots$ dafür benötigte Zeit.
2. Je kleiner $\mathrm{\Delta }t$, desto weniger Schwankung steckt im Mittelwert — desto genauer entspricht $\overline{v}$ der Geschwindigkeit im betrachteten Punkt.
3. Grenzübergang $\mathrm{\Delta }t\to 0$: Aus dem Differenzenquotienten $\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$ (der Quotient zweier endlicher Differenzen, also „Wegunterschied geteilt durch Zeitunterschied") wird der Differentialquotient (die Ableitung). Das ist die Momentangeschwindigkeit:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{ds}{dt}$$

Geschwindigkeit $v$ (Vektor $\overrightarrow{v}$, Einheit m/s) hat also Betrag und Richtung. ${\displaystyle \frac{ds}{dt}}\dots$ Steigung der $s$-$t$-Kurve im betrachteten Punkt (die Tangentensteigung). Anschaulich: Die Momentangeschwindigkeit ist die Steigung der Tangente an die $s$-$t$-Kurve.

Beschleunigung

Warum braucht man sie? Bewegungen sind selten gleichförmig — $v$ ändert sich ständig. Das Maß für diese Änderung ist die Beschleunigung $a$ (Vektor $\overrightarrow{a}$, Einheit m/s²): die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit.

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}\stackrel{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\to }\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}\dots$ Geschwindigkeitsänderung; $\mathrm{\Delta }t\dots$ Zeit, in der sie geschieht. Genauso wie $v$ die Steigung der $s$-$t$-Kurve ist, ist $a$ die Steigung der $v$-$t$-Kurve.

Achtung: $\overrightarrow{v}$ ist ein Vektor — er ändert sich schon, wenn sich nur die Richtung ändert (bei gleichem Betrag). Auch eine Richtungsänderung ist also eine Beschleunigung. Daher ist jede krummlinige Bewegung (z. B. die Kreisbewegung) eine beschleunigte Bewegung, selbst bei konstantem Tempo — die zugehörige Kraft ist die Zentripetalkraft.

Rechenbeispiel: Ein Space Shuttle (Durchschnittsbeschleunigung 30 m/s²) soll die Orbitalgeschwindigkeit 7700 m/s erreichen:

$$t=\frac{v}{a}=\frac{7700}{30}\approx 257\text{s}\approx 4,3\text{min}$$