9.6 Heisenberg'sche Unschärferelation

Quelle: Themenpool §9

Ort und Impuls eines Teilchens können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden — das ist kein Messfehler, sondern ein fundamentales Prinzip der Natur:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}}},\hslash =\frac{h}{2\pi }$$

Symbol	Bedeutung
$\mathrm{\Delta }x$	Ortsunschärfe (wie scharf der Ort festliegt)
$\mathrm{\Delta }p$	Impulsunschärfe, mit $\mathrm{\Delta }p=m\cdot \mathrm{\Delta }v$
$\hslash$	reduziertes Plancksches Wirkungsquantum $={\displaystyle \frac{h}{2\pi }}\approx 1,05\cdot {10}^{-34}$ Js

Warum gibt es diese Unschärfe überhaupt? — Das Wellenpaket

Die Unschärfe ist eine direkte Folge des Welle-Teilchen-Dualismus (Quantenobjekte zeigen je nach Experiment Wellen- oder Teilcheneigenschaften; beide Bilder gehören zu demselben Objekt). Man muss sich klarmachen, wie man ein Teilchen als Welle „an einen Ort legt":

1. Eine einzelne, reine Sinuswelle hat eine scharf definierte Wellenlänge $\lambda$. Über die De-Broglie-Beziehung (jedem Teilchen ist eine Materiewelle zugeordnet; ihre Wellenlänge $\lambda$ und der Impuls $p$ hängen über $p=h/\lambda$ zusammen) $p={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}$ bedeutet das einen exakt bestimmten Impuls ($\mathrm{\Delta }p\to 0$).
2. Aber eine reine Sinuswelle ist überall im Raum gleich ausgedehnt — sie hat keinen Ort ($\mathrm{\Delta }x\to \mathrm{\infty }$). So ein „Teilchen" wäre über den ganzen Raum verschmiert.
3. Um das Teilchen zu lokalisieren (an einen Ort zu bringen), muss man viele Sinuswellen verschiedener Wellenlängen überlagern. Durch Interferenz löschen sie sich überall bis auf einen kleinen Bereich aus — es entsteht ein Wellenpaket (ein lokalisierter „Wellenklumpen").
4. Je enger das Paket sein soll (kleines $\mathrm{\Delta }x$), desto mehr verschiedene Wellenlängen muss man mischen → desto größer die Streuung der enthaltenen Impulse (großes $\mathrm{\Delta }p$).
5. Umgekehrt: Will man einen scharfen Impuls (nur eine Wellenlänge, kleines $\mathrm{\Delta }p$), wird das Paket breit (großes $\mathrm{\Delta }x$).

Lokalisierung im Ort und Schärfe im Impuls sind also gegenläufig — man kann nicht beides zugleich klein machen. Das ist keine Schwäche unserer Messgeräte, sondern liegt in der Wellennatur der Materie selbst.

Bedeutung des Faktors $\hslash /2$

Das Produkt $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p$ kann nie kleiner werden als $\hslash /2$ — das ist die harte untere Grenze der Natur. Weil $\hslash$ winzig ist ($\sim {10}^{-34}$ Js), spielt diese Grenze im Alltag keine Rolle (eine Billardkugel kann man beliebig genau orten und messen), wird aber bei Atomen und Elektronen entscheidend. Das Gleichheitszeichen ($=\hslash /2$) erreicht nur das ideale Wellenpaket (gaußförmig); jedes reale Paket liegt darüber ($>$).

Energie-Zeit-Form

Analog gilt für Energie und Zeit:

$$\mathrm{\Delta }E\cdot \mathrm{\Delta }t\ge \frac{\hslash }{2}$$

$\mathrm{\Delta }E\dots$ Energieunschärfe; $\mathrm{\Delta }t\dots$ Zeitspanne, in der ein Zustand existiert. ✎ Bedeutung: Ein sehr kurzlebiger Zustand (kleines $\mathrm{\Delta }t$) hat eine große Energieunschärfe $\mathrm{\Delta }E$ — Energie darf für kurze Zeit „geliehen" werden. Genau das erlaubt die virtuellen Austauschteilchen der Grundkräfte (siehe Thema 10, schwache Kraft).