11.7 Schwarze Löcher

Quelle: Mitschrift §7.8

Definition

Ein schwarzes Loch ist ein Gebilde, an dessen Oberfläche $v_F>c_0$ (Fluchtgeschwindigkeit größer als Lichtgeschwindigkeit). Am Ereignishorizont gilt $v_F=c_0$; alles darin kann nicht mehr entkommen — auch Licht nicht.

✎ Begriffsklärung: kein „Loch", sondern ein 3D-Gebilde; „Oberfläche" meint die tatsächliche Oberfläche der Masse, nicht den Ereignishorizont. Die ART ist hier unvollständig, weil sie im Zentrum eine Singularität (unendliche Dichte) vorhersagt → man braucht eine Quantengravitation.

✎ Singularität (echte Prüfung): Die ART sagt voraus, dass die gesamte Masse innerhalb des Horizonts in einen Punkt kollabiert — Volumen → 0, Dichte → ∞. Nachfrage samt Standardantwort: „Was glauben die meisten von uns? — Es gibt sie wahrscheinlich nicht." Eine unendliche Dichte ist typischerweise das Signal, dass eine Theorie versagt: Die Singularität ist genau der Punkt, an dem die ART aussteigt und an die Quantengravitation übergeben muss.

Zwei Typen: astrophysikalische (aus Supernovae, nachgewiesen) und Mikro-schwarze-Löcher (kleiner als Protonen, Test der Stringtheorie (Theorie, die alle Teilchen als winzige schwingende „Fäden"/Strings statt punktförmig beschreibt), Lebensdauer ~${10}^{-26}$ s → harmlos, verdampfen durch Hawking-Strahlung (schwarze Löcher strahlen am Ereignishorizont durch Quanteneffekte ganz langsam Energie ab und „verdampfen" so über die Zeit)).

✎ Die LHC-Klage (2008, echte Prüfung): Vor der Inbetriebnahme des LHC wurde geklagt, um den Betrieb zu verhindern — aus Angst, erzeugte Mini-schwarze-Löcher könnten die Erde verschlucken. Die doppelte physikalische Entgegnung: ① Die kosmische Strahlung bombardiert die Erdatmosphäre seit Milliarden Jahren mit weit höheren Energien — gäbe es dabei gefährliche schwarze Löcher, wäre die Erde längst weg; ② selbst ein erzeugtes Mini-schwarzes-Loch verdampft per Hawking-Strahlung in ~${10}^{-26}$ s — es käme gar nicht dazu, irgendetwas aufzusammeln.

Spaghettisierung — der Sturz in ein schwarzes Loch

Fällt ein ausgedehnter Körper (z. B. ein Astronaut, Füße voran) in ein schwarzes Loch, wirkt auf ihn eine extreme Gezeitenkraft. Sie ist nichts anderes als der Unterschied der Gravitationskraft zwischen zwei Punkten: Wegen $F_G\propto 1/r^2$ zieht es die Füße (näher am Zentrum, kleineres $r$) viel stärker an als den Kopf (größeres $r$). In normalen Schwerefeldern ist diese Differenz winzig; in der Nähe eines schwarzen Lochs wird sie gigantisch.

Die Folge: Der Körper wird in radialer Richtung auseinandergezogen (Füße weg vom Kopf) und gleichzeitig quer zusammengepresst (weil alle Linien zum Zentrum hin zusammenlaufen) — er wird zu einem immer dünneren, längeren „Faden" gestreckt. Dieses anschauliche Bild heißt Spaghettisierung (engl. spaghettification, „Nudeleffekt") — das Wahrzeichen des Sturzes in ein schwarzes Loch.

✎ Zusammenhang mit den Gezeiten der Erde: Es ist dieselbe Physik wie bei Ebbe und Flut — die Gezeitenkraft ist die Differenz der Gravitation über einen Körper hinweg (siehe auch §11.2: zwei Flutberge durch die Ungleichmäßigkeit der Mondwirkung). Beim schwarzen Loch ist genau dieselbe Differenz nur so extrem, dass sie einen ganzen Körper zerreißt statt nur Ozeane zu heben.

✎ Wann genau zerreißt es einen? Das hängt von der Größe des schwarzen Lochs ab: Bei einem kleinen (stellaren) schwarzen Loch ist die Gezeitenkraft schon weit außerhalb des Ereignishorizonts tödlich — man würde lange vor dem Horizont zerrissen. Bei einem supermassereichen schwarzen Loch ist der Horizont so groß und der Gradient dort so „sanft", dass man den Ereignishorizont unzerrissen überqueren könnte und die Spaghettisierung erst tiefer drinnen einsetzt.

Schwarzschildradius

Setze $v_F=c_0$ in $v_F=\sqrt{2GM/R}$ (die Fluchtgeschwindigkeits-Formel selbst wird über die Energieerhaltung hergeleitet, siehe Thema 2 §2.4):

$$c_0^2=\frac{2GM}{R}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle R=\frac{2\cdot G\cdot M}{c_0^2}}}$$

✎ Beispiel Erde: $R\approx 9$ mm (genauer 8,9 mm). Jedes Objekt hat einen Schwarzschildradius — presste man die Erde auf ~9 mm, wäre sie ein schwarzes Loch.

✎ Nachfrage: Ist diese Herleitung „streng"? Nein — sie ist nur heuristisch. Sie benutzt Newton'sche Mechanik: kinetische Energie $\frac{m{v}^2}{2}$ und Licht als Wurfkörper mit Masse $m$ — aber Licht hat keine Ruhemasse, und für $v\approx c$ ist die Newton'sche Mechanik ohnehin nicht zuständig. Schwarze Löcher sind ihrem Wesen nach Objekte der ART: Das strenge Resultat fand 1916 Karl Schwarzschild als exakte Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. Dass die Newton'sche Rechnung genau dieselbe Formel $R=2GM/c_0^2$ liefert, ist ein glücklicher Zufall — im Hearing unbedingt selbst darauf hinweisen.

Mittlere Dichte eines schwarzen Lochs

Quelle: p3-Unterrichtsnotizen (schwarze Löcher)

Die mittlere Dichte schätzt man als „Masse ÷ Volumen innerhalb des Horizonts":

$$\rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3M}{4\pi R^3}$$

Einsetzen von $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$:

$$\rho =\frac{3c_0^6}{32\pi G^3{M}^2}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \rho \propto \frac{1}{M^2}}}$$

Je größer die Masse eines schwarzen Lochs, desto kleiner seine mittlere Dichte (denn $R\propto M$, das Volumen $\propto M^3$, die Masse aber nur $\propto M$) — supermassereiche schwarze Löcher können im Mittel sogar weniger dicht als Wasser sein. Zahlenbeispiele: $M_{\text{Erde}}\to R\approx 9$ mm; $M_{\odot }\to R\approx 3$ km.

✎ Gleich ein Irrtum dazu: Die Masse eines schwarzen Lochs muss nicht „fast unendlich" sein — die Lichtgeschwindigkeit ist groß, aber endlich; jede Masse wird zum schwarzen Loch, wenn man sie unter ihren Schwarzschildradius zusammenpresst (auch eine kleine, man muss nur extrem stark pressen).

✎ Irrtum zum Abschluss (echte Prüfung): „Wenn die Sonne plötzlich ein schwarzes Loch würde — was passiert mit der Gravitation?" „Nichts! Gleiche Masse, gleiche Umlaufbahn." Die Gravitation hängt nur von Masse und Abstand zum Massenmittelpunkt ab — die direkte Folge des Schalentheorems aus §11.1 (außerhalb wirkt eine kugelsymmetrische Masse wie eine Punktmasse). Die Erde liefe auf derselben Bahn weiter; es würde nur nach 8 Minuten dunkel und kalt. Ein schwarzes Loch „saugt" nicht wie ein Staubsauger alles auf (der „Aufsaugen"-Mythos): In ausreichender Entfernung ist es eine ganz normale Gravitationsquelle.

Nachweis und Wurmloch

Akkretionsscheibe: Materie eines Begleitsterns stürzt hinein, wird stark beschleunigt, heizt sich auf und strahlt EM ab (messbar — wir sehen nur die Scheibe bzw. den Schatten des Ereignishorizonts). Erstes Bild: M87* (EHT 2019), SgrA* (2022). (EHT = Event Horizon Telescope: ein weltweiter Verbund von Radioteleskopen, zu einem erdgroßen virtuellen Teleskop zusammengeschaltet.) Dazu Gravitationslinsen/Einstein-Ringe.

Abbildung: „Bild" eines schwarzen Lochs — dunkler Schatten des Ereignishorizonts, umgeben vom leuchtenden Akkretionsring.

Ein Wurmloch ist ein theoretisches ART-Objekt (Abkürzung großer Distanzen), nicht nachgewiesen — die ART ist ja nicht zu 100 % korrekt.

---