Thema 2 — Raumfahrtphysik

Drei Rechenaufgaben: Satellit auf Kreisbahn · geostationärer Satellit · Fluchtgeschwindigkeit

Roter Faden: Alle drei Aufgaben beruhen auf einem Gedanken — die Gravitationskraft liefert die nötige Zentripetalkraft. Wer das einmal versteht, kann alle drei Formeln selbst herleiten.

Kapitel

• 2.1 Vorab: Was ist die Zentripetalkraft?
• 2.2 Satellit auf einer Kreisbahn
• 2.3 Der geostationäre Satellit
• 2.4 Fluchtgeschwindigkeit
• 2.5 Bahnform abhängig von der Gesamtenergie

Selfcheck

1. Warum „fällt" ein Satellit nicht herunter, obwohl die Gravitation auf ihn wirkt?
2. Leite $v=\sqrt{GM/r}$ her. Warum spielt die Masse des Satelliten keine Rolle?
3. Was bedeutet $r$ in den Formeln genau — und welcher häufige Fehler lauert dabei?
4. Nenne die drei Bedingungen für einen geostationären Satelliten.
5. Warum rechnet man mit dem Sterntag (23 h 56 min) und nicht mit 24 h?
6. Definiere die Fluchtgeschwindigkeit exakt (was passiert „im Unendlichen"?).
7. Wie hängen $v_F$ und die Kreisbahngeschwindigkeit zusammen?
8. Wie entscheidet die Gesamtenergie über Kreis-, Parabel- oder Hyperbelbahn?
9. Warum kann ein geostationärer Satellit nur über dem Äquator stehen? Warum ist ein „schwebender" Satellit über Wien unmöglich?
10. Astronauten auf der ISS sind „schwerelos" — gibt es dort keine Gravitation?
11. Warum wird ein Satellit auf niedriger Bahn, den die Atmosphäre durch Reibung abbremst, schneller?
12. Kann man aus Höhe und Geschwindigkeit eines Satelliten seine Masse berechnen (Eisenhowers Frage)?
13. Sind GPS-Satelliten geostationär? Auf welcher Bahn (Höhe, Umlaufzeit) laufen sie, und warum nicht geostationär?

§§ANTWORTEN

1. Er fällt zwar ständig, ist aber so schnell, dass die Erde unter ihm gleich schnell wegkrümmt — er „verfehlt" den Boden immerzu. Die Gravitation liefert dabei genau die nötige Zentripetalkraft ($F_{\text{ZP}}=F_G$). (§2.2)
2. Aus $\frac{m{v}^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}$ kürzt sich die Satellitenmasse $m$ heraus → $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$. Die Masse ist egal, weil sie auf beiden Seiten steht — auf einer Bahn gilt für jeden Satelliten dieselbe Geschwindigkeit. (§2.2)
3. $r$ ist der Bahnradius vom Zentrum des Zentralkörpers, also Erdradius + Flughöhe. Häufiger Fehler: nur die Flughöhe einzusetzen. (§2.2)
4. Umlaufzeit = ein Sterntag, Bahn über dem Äquator, Lauf in Drehrichtung der Erde. (§2.3)
5. Der Sterntag ist eine volle Erddrehung relativ zu den Sternen; für „immer über demselben Erdpunkt" zählt diese echte Drehung. Der Sonnentag (24 h) ist länger, weil die Erde zugleich um die Sonne wandert. (§2.3)
6. Geschwindigkeit, um dem Schwerefeld für immer zu entkommen: Startet ein Körper mit genau $v_F$, kommt er nach unendlich langer Zeit in unendlicher Entfernung mit der Geschwindigkeit 0 an. (§2.4)
7. $v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{Kreis}}$ — die Fluchtgeschwindigkeit ist das $\sqrt{2}$-fache der Kreisbahngeschwindigkeit auf gleicher Höhe (Faktor 2 unter der Wurzel). (§2.4)
8. Das Vorzeichen von $E_{\text{ges}}=\frac{m{v}^2}{2}-\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$ entscheidet: $E_{\text{ges}}<0$ → gebunden (Kreis/Ellipse); $E_{\text{ges}}=0$ → Parabel ($v=v_F$); $E_{\text{ges}}>0$ → Hyperbel ($v>v_F$). (§2.5)
9. Die Gravitation zeigt zum Erdmittelpunkt, die Zentripetalkraft muss zum Bahnmittelpunkt zeigen → die Bahnebene muss durch den Erdmittelpunkt gehen. Ein Kreis um den Breitengrad von Wien hätte seinen Mittelpunkt auf der Erdachse statt im Erdmittelpunkt — diese Kraft kann die Gravitation nicht liefern; eine geneigte Bahn durch den Erdmittelpunkt pendelt täglich nord-süd. Einzige ruhende Lösung: Bahn in der Äquatorebene. (§2.3)
10. Doch — in 400 km Höhe beträgt sie noch ca. $89\mathrm{\%}$ des Oberflächenwerts. „Schwerelos" sind die Astronauten, weil sie mit der Station im freien Fall sind (Umlaufen = Fallen, das den Boden nie erreicht), nicht weil die Gravitation fehlt. (§2.2)
11. Reibung verringert die Gesamtenergie → die Bahn wird tiefer → nach $v=\sqrt{GM/r}$ bedeutet kleineres $r$ ein größeres $v$: Beim Absinken wird mehr potentielle Energie frei, als die Reibung verbraucht — der Überschuss wird kinetische Energie. (§2.2)
12. Nein — die Satellitenmasse $m$ kürzt sich in $F_{\text{ZP}}=F_G$ auf beiden Seiten heraus; die Bahndaten enthalten keine Masseninformation. Die Masse ist nur über eine Wechselwirkung (z. B. Stoß + Impulserhaltung) messbar. (§2.2)
13. Nein — GPS-Satelliten laufen auf einer MEO (Medium Earth Orbit) in ca. 20 200 km Höhe mit ~12 h Umlaufzeit, sie „stehen" also nicht still. Nicht geostationär, weil die Ortsbestimmung mehrere Satelliten aus verschiedenen Richtungen braucht (gute Geometrie, keine Pol-Lücken). (§2.3)