8.5 Arbeit, Leistung, Energie

Quelle: Themenpool §8 · Mitschrift §4.5.1–§4.5.3

Arbeit

Arbeit ($W$) wird verrichtet, wenn ein Körper durch eine Kraft $\overrightarrow{F}$ entlang eines Weges $\overrightarrow{s}$ bewegt wird. Sie ist ein Skalarprodukt und hängt vom Winkel zwischen Kraft und Weg ab:

$$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=F\cdot s\cdot \cos \alpha$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$W$	Arbeit	J
$\overrightarrow{F}$	Kraft	N
$\overrightarrow{s}$	Weg	m
$\alpha$	Winkel zwischen $\overrightarrow{F}$ und $\overrightarrow{s}$	°

Einheit Joule: $1\text{J}=1\text{N·m}$. Es gilt: bei $\overrightarrow{F}\parallel \overrightarrow{s}$ ($\cos =1$) ist die Arbeit maximal; bei $\overrightarrow{F}\perp \overrightarrow{s}$ ($\cos =0$) ist $W=0$ — z. B. verrichtet die Zentripetalkraft auf einer Kreisbahn keine Arbeit, weil sie stets senkrecht zur Bewegung steht. Bei gleicher Arbeit lassen sich $F$ und $s$ gegeneinander tauschen — das Grundprinzip des Hebels (kleine Kraft über langen Weg).

Leistung

Leistung ($P$) gibt an, wie viel Arbeit pro Zeit verrichtet wird:

$$P=\frac{W}{t}$$

Einheit Watt: $1\text{W}=1\frac{\text{J}}{\text{s}}$. Gleiche Arbeit in kürzerer Zeit → höhere Leistung. Die Kilowattstunde ist eine Energie-Einheit, keine Leistungseinheit: $1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3,6\cdot {10}^6$ J. Elektrische Leistung: $P=U\cdot I$.

Energie

Energie ($E$) ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Wird Arbeit verrichtet, geht Energie von einem Körper auf einen anderen über — Arbeit bedeutet also Energieumwandlung. Einheit ebenfalls Joule.

a) Kinetische Energie (Bewegungsenergie) — Energie aufgrund der Geschwindigkeit:

$$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Sie ist relativ (hängt über $v$ vom Bezugssystem ab). Herleitung aus $F=ma$, $v=at$, $s=\frac{1}{2}a{t}^2$, $W=Fs$: $W=ma\cdot \frac{a{t}^2}{2}=\frac{m(at{)}^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}$.

✎ Ableitung Schritt für Schritt (echte Prüfungsanweisung: „Ableitungen durchführen"):

1. Idee: $E_{\text{kin}}$ = die Arbeit, die nötig ist, um den Körper aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit $v$ zu bringen. Wir beschleunigen ihn mit konstanter Kraft $F$.
2. Arbeit: $W=F\cdot s$ (Kraft parallel zum Weg, siehe oben).
3. Kraft einsetzen (2. Axiom, §8.3): $F=m\cdot a$ → $W=m\cdot a\cdot s$.
4. Weg einsetzen (gleichmäßig beschleunigte Bewegung, Thema 5): $s=\frac{1}{2}a{t}^2$ → $W=m\cdot a\cdot \frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}m(at{)}^2$.
5. Geschwindigkeit erkennen: $v=at$ → $\boxed{{\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}^2=E_{\text{kin}}}}$.

Jeder Schritt hat einen Grund: ① Definition über die Beschleunigungsarbeit, ② Definition der Arbeit, ③ 2. Newton'sches Axiom, ④+⑤ Kinematik der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Genauso geht die Hubarbeit: $E_{\text{pot}}=W=F\cdot h=mg\cdot h$ (Kraft gegen die Gewichtskraft, konstantes $g$ nahe der Erdoberfläche).

b) Potentielle Energie (Lageenergie) — Energie aufgrund der Lage im Gravitationsfeld (= die nötige Hubarbeit):

$$E_{\text{pot}}=m\cdot g\cdot h\text{(homogenes Feld)}$$

Im inhomogenen Feld (Raumfahrt, große Distanzen):

$$E_{\text{pot}}=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r}$$

✎ Das negative Vorzeichen drückt aus, dass gebundene Körper im Potentialtopf sitzen ($E_{\text{pot}}<0$, Bezugspunkt 0 im Unendlichen).

✎ Wie passen die beiden Formeln zusammen? $mgh$ ist die Näherung für kleine Höhen nahe der Oberfläche, wo $g$ praktisch konstant ist: Hebt man einen Körper von $r$ auf $r+h$ (mit $h\ll r$), liefert die allgemeine Formel genau die Differenz $\mathrm{\Delta }{E}_{\text{pot}}\approx mgh$. Die beiden Formeln haben nur verschiedene Nullpunkte (Boden bzw. Unendlich) — physikalisch messbar sind ohnehin nur Energiedifferenzen.

Abbildung: Zur potentiellen Energie — ein Körper der Masse $m$ wird mit Kraft $F$ gegen die Gewichtskraft $F_G$ auf Höhe $h$ gehoben; die Hubarbeit steckt dann als $E_{\text{pot}}$ im Körper.

Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant.

Energieformen wandeln sich ineinander um, die Summe bleibt gleich: $E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}+\cdots =\text{konstant}$. Ein abgeschlossenes System tauscht keine Energie mit der Umgebung aus; Energie wird nie erzeugt oder vernichtet, nur umgewandelt.

Beispiel freier Fall: $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh\Rightarrow v=\sqrt{2gh}$ (die Masse fällt heraus).

✎ Rechenbeispiel Flugzeug (66 400 kg, 946 km/h ≈ 262,8 m/s, 11 867 m Höhe): $E_{\text{pot}}=mgh\approx 7,7\cdot {10}^9$ J, $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2\approx 2,3\cdot {10}^9$ J → die potentielle Energie ist größer. Gleich groß wären sie erst in der Höhe $h=v^2/(2g)\approx 3519$ m.

✎ Echte Nachfrage (zum Beispiel oben): „In welcher Höhe müsste die Maschine bei gleicher Geschwindigkeit fliegen, damit beide Energieformen gleich groß sind?" — Ansatz $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$, das $m$ kürzt sich: $h={\displaystyle \frac{v^2}{2g}}={\displaystyle \frac{262,8^2}{2\cdot 9,81}}\approx 3519\text{m}$. Philosophischer Haken (Original-Wortlaut): „Du machst ein Nickerchen an Bord — könntest du spüren, dass beide Energieformen gleich sind? — Natürlich nicht, weil die Systeme gleichberechtigt sind (konstante Geschwindigkeit)." (Ausführlich im Absatz „Zum Mitdiskutieren" unten.)

✎ Zum Mitdiskutieren: Weil $E_{\text{kin}}$ über $v$ vom Bezugssystem abhängt und alle gleichförmig bewegten Bezugssysteme gleichberechtigt sind, kann man in der ruhig fliegenden Kabine durch kein Experiment feststellen, wann kinetische und potentielle Energie gleich groß sind — die Bewegung selbst ist nicht spürbar, nur eine Beschleunigung wäre es. Das ist dieselbe Einsicht wie die Relativität der Bewegung (Turmargument): Ruhe und gleichförmige Bewegung sind von innen ununterscheidbar.