2.5 Bahnform abhängig von der Gesamtenergie

Quelle: Themenpool §2 · Mitschrift §7.7

Mit der genaueren potentiellen Energie $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$ (im inhomogenen Feld — also einem Feld, dessen Stärke mit der Entfernung abnimmt, anders als das einfache Modell mit konstantem $g$) ist die Gesamtenergie:

$$E_{\text{ges}}=\frac{m_2{v}^2}{2}-\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$$

Das Vorzeichen von $E_{\text{ges}}$ entscheidet über die Bahnform:

$E_{\text{ges}}$	Bedeutung	Bahn
$<0$	Körper gebunden	Kreis / Ellipse
$=0$	genau $v=v_F$	Parabel
$>0$	$v>v_F$	Hyperbel

✎ Anschaulich: Bei negativer Gesamtenergie „sitzt" der Körper in der Potentialmulde fest und kreist; bei null reicht es gerade zur Flucht; bei positiver Energie fliegt er mit Restgeschwindigkeit davon. Die Ellipsen-/Kreisbahnen sind dieselben wie in den Keplerschen Gesetzen.

✎ Woher kommt $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$? Aus dem Aufsummieren (Integrieren) der Gravitationskraft längs des Weges: $E_{\text{pot}}=\int F_{G}dr=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$. Das Minus bedeutet, dass gebundene Körper weniger Energie haben als im Unendlichen (Bezugspunkt $E_{\text{pot}}=0$ bei $r\to \mathrm{\infty }$).

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