4.3 Millikan-Öltröpfchen-Experiment (1910–1913)

Quelle: Themenpool §4 · Mitschrift §5.1.4

Frage: Lässt sich die elektrische Ladung beliebig teilen, oder gibt es eine kleinste Ladung?

Aufbau: Zwei horizontale Metallplatten (Plattenkondensator) mit regelbarer Spannung; oben fallen feine, durch die Reibung beim Zerstäuben (negativ) geladene Öltröpfchen ein; Beobachtung per Mikroskop. Im Vakuum geht es nicht — man braucht die Luftreibung (Stokes, nach dem Stokes'schen Reibungsgesetz: der Luftwiderstand auf eine langsam fallende kleine Kugel, der mit ihrer Geschwindigkeit wächst).

Abbildung: Aufbau — Zerstäuber sprüht geladene Öltröpfchen in den Plattenkondensator, Beobachtung mit Mikroskop, Spannung regelbar.

✎ Warum Öl — und nicht Wasser? Ein Wassertröpfchen verdunstet während der minutenlangen Beobachtung: Seine Masse $m$ und sein Radius $r$ ändern sich laufend, und die ganze Auswertung bricht zusammen. Öl hat einen sehr geringen Dampfdruck — das Tröpfchen bleibt während der Messung konstant. (Physik+: Auf diesem Niveau wird außerdem der kleine Auftrieb des Tröpfchens in Luft vernachlässigt.)

Das Problem in einem Satz: Aus der Schwebebedingung bekommt man die Ladung $Q$ nur, wenn man die Masse $m$ des winzigen Tröpfchens kennt — und die kann man nicht direkt wiegen. Genau dafür gibt es die zwei Phasen.

Phase 1 — Schwebephase

Die Spannung wird so eingestellt, dass ein Tröpfchen schwebt: die elektrische Kraft (nach oben) hält der Schwerkraft (nach unten) die Waage.

Schritt 1 — Kräftegleichgewicht ansetzen. Beim Schweben ist die Summe der Kräfte null, also elektrische Kraft = Gewichtskraft:

$$F_E=F_G$$

Schritt 2 — die Kräfte einsetzen. Die elektrische Kraft auf eine Ladung im Feld ist $F_E=Q\cdot E$, die Gewichtskraft $F_G=m\cdot g$:

$$Q\cdot E=m\cdot g$$

Abbildung: Kräftegleichgewicht beim Schweben — $F_E$ nach oben, $F_G$ nach unten.

Schritt 3 — formal nach $Q$ auflösen. Wir teilen durch $E$:

$$Q=\frac{m\cdot g}{E}$$

Das Feld $E=U/d$ (Spannung ÷ Plattenabstand) und $g$ sind bekannt — aber die Masse $m$ ist noch unbekannt. Deshalb lässt sich $Q$ hier noch nicht ausrechnen → Phase 2 muss erst $m$ liefern.

Phase 2 — Sinkphase

Spannung aus → es wirkt nur noch die Schwerkraft → das Tröpfchen fällt und wird schneller, bis die mit der Geschwindigkeit wachsende Stokes-Reibung (Luftwiderstand) die Schwerkraft gerade aufhebt. Dann fällt es mit konstanter Geschwindigkeit $v$ (neues Gleichgewicht).

Schritt 1 — Kräftegleichgewicht beim gleichförmigen Sinken. Stokes-Reibung (nach oben) = Gewichtskraft (nach unten). Die Stokes-Reibung einer Kugel ist $F_{RS}=6\pi \eta rv$:

$$6\pi \eta rv=m\cdot g$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$\eta$	Viskosität (Zähigkeit) der Luft	Pa·s
$r$	Radius des Tröpfchens	m
$v$	konstante Sinkgeschwindigkeit (gemessen)	m/s
$\rho$	Dichte des Öls (bekannt)	kg/m³

Abbildung: Kräftegleichgewicht beim Sinken — Stokes-Reibung $F_{RS}$ nach oben, $F_G$ nach unten, konstante Sinkgeschwindigkeit $v$.

Schritt 2 — die Masse durch Dichte und Radius ausdrücken. In der Gleichung stehen zwei Unbekannte: $m$ und $r$. Wir brauchen eine zweite Beziehung. Das Tröpfchen ist eine winzige Kugel, also $m=\rho \cdot V$ mit Kugelvolumen $V=\frac{4}{3}\pi r^3$:

$$m=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Schritt 3 — einsetzen, sodass nur noch $r$ unbekannt ist. Wir setzen dieses $m$ rechts in die Gleichgewichtsgleichung ein:

$$6\pi \eta rv=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\cdot g$$

Schritt 4 — vereinfachen. Auf beiden Seiten kürzen wir $\pi$ und ein $r$ (rechts bleibt $r^2$); die Zahlen fasst man zusammen:

$$6\eta v=\frac{4}{3}\rho g{r}^2⟹r^2=\frac{6\eta v}{\frac{4}{3}\rho g}=\frac{9\eta v}{2\rho g}$$

Schritt 5 — Wurzel ziehen → Radius. So ist der Tröpfchenradius allein aus messbaren Größen ($\eta ,v,\rho ,g$) bestimmt:

$$r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2g\rho }}$$

Schritt 6 — zurück zur Masse. Mit diesem $r$ in $m=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$ erhält man endlich die gesuchte Masse $m$ des Tröpfchens.

Phase 3 — Auswertung

Schritt 1 — $m$ aus Phase 2 in die Schwebebedingung (Phase 1) einsetzen. Jetzt ist in $Q={\displaystyle \frac{mg}{E}}$ alles bekannt:

$$Q=\frac{m\cdot g}{E}$$

Schritt 2 — viele Tröpfchen vermessen und die Ladungen auftragen. Man wiederholt das für sehr viele Tröpfchen und trägt alle gemessenen $Q$-Werte auf. Es zeigt sich: Die Werte häufen sich nicht beliebig, sondern liegen nur bei bestimmten Stufen — dazwischen bleiben Lücken. Alle $Q$ sind ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Ladung:

$$Q=n\cdot e,n=1,2,3,\dots$$

Schritt 3 — den kleinsten gemeinsamen „Schritt" als Elementarladung ablesen. Der gemeinsame Abstand der Stufen ist die kleinste vorkommende Ladungsportion — die Elementarladung:

$$\boxed{{\displaystyle e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}}$$

✎ Warum beweist gerade das die Quantisierung? Wäre die Ladung beliebig teilbar, müssten die Messwerte gleichmäßig über alle Werte streuen (keine Lücken). Dass sie stattdessen nur auf einem festen Raster sitzen, kann nur bedeuten, dass es eine kleinste, unteilbare Ladungsportion gibt.

Schluss: Die elektrische Ladung ist quantisiert; jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches von $e$. (Wikipedia: Oil drop experiment)