4.3 密立根油滴实验（Millikan，1910–1913）

来源： 考纲 §4 · 课堂笔记 §5.1.4

问题： 电荷能无限细分吗？还是存在一个最小电荷？

装置： 两块水平金属板（平行板电容器），电压可调；上方落入喷雾时因摩擦而（负）带电的细小油滴；用显微镜观察。在真空中不行——需要空气的黏滞阻力（Stokes，即斯托克斯阻力定律：作用在缓慢下落的小球上、随其速度增大的空气阻力）。

图：装置——喷雾器把带电油滴喷入平行板电容器，用显微镜观察，电压可调。

✎ 为什么用油——而不是水？ 水滴在长达数分钟的观察中会蒸发：质量 $m$ 与半径 $r$ 不断变化，整个分析就垮了。油的蒸气压极低——油滴在测量期间保持不变。（Physik+：在这个层面还忽略了油滴在空气中受到的微小浮力。）

一句话点出难点： 由悬浮条件只有在知道这粒微小油滴的质量 $m$ 时才能得到电荷 $Q$——而它无法直接称量。这正是要分两个阶段的原因。

第 1 阶段——悬浮

调节电压使油滴悬浮：电场力（向上）与重力（向下）平衡。

第 1 步——写出受力平衡。 悬浮时合力为零，即电场力 = 重力：

$$F_E=F_G$$

第 2 步——代入两个力。 场中电荷受的电场力 $F_E=Q\cdot E$，重力 $F_G=m\cdot g$：

$$Q\cdot E=m\cdot g$$

图：悬浮时的受力平衡——$F_E$ 向上，$F_G$ 向下。

第 3 步——形式上对 $Q$ 求解。 两边除以 $E$：

$$Q=\frac{m\cdot g}{E}$$

场强 $E=U/d$（电压 ÷ 板间距）与 $g$ 都已知——但质量 $m$ 仍未知。所以此时还算不出 $Q$ → 必须先由第 2 阶段定出 $m$。

第 2 阶段——下沉

断电 → 只剩重力 → 油滴下落并加速，直到随速度增大的 Stokes 阻力（空气阻力）恰好抵消重力。此后它以匀速 $v$ 下落（新的平衡）。

第 1 步——匀速下沉时的受力平衡。 Stokes 阻力（向上）= 重力（向下）。球的 Stokes 阻力为 $F_{RS}=6\pi \eta rv$：

$$6\pi \eta rv=m\cdot g$$

符号	含义	单位
$\eta$	空气的黏度（黏滞系数）	Pa·s
$r$	油滴半径	m
$v$	匀速下沉速度（测得）	m/s
$\rho$	油的密度（已知）	kg/m³

图：下沉时的受力平衡——Stokes 阻力 $F_{RS}$ 向上，$F_G$ 向下，匀速下沉 $v$。

第 2 步——把质量用密度和半径表示。 方程里有两个未知量：$m$ 和 $r$。需要第二个关系。油滴是一粒微小球体，故 $m=\rho \cdot V$，球体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$：

$$m=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

第 3 步——代入，使只剩 $r$ 未知。 把这个 $m$ 代入右边的平衡式：

$$6\pi \eta rv=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\cdot g$$

第 4 步——化简。 两边约掉 $\pi$ 和一个 $r$（右边剩 $r^2$）；数字合并：

$$6\eta v=\frac{4}{3}\rho g{r}^2⟹r^2=\frac{6\eta v}{\frac{4}{3}\rho g}=\frac{9\eta v}{2\rho g}$$

第 5 步——开平方 → 半径。 这样油滴半径就只由可测量（$\eta ,v,\rho ,g$）确定：

$$r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2g\rho }}$$

第 6 步——回到质量。 把这个 $r$ 代入 $m=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$，终于得到所求的油滴质量 $m$。

第 3 阶段——分析

第 1 步——把第 2 阶段的 $m$ 代入悬浮条件（第 1 阶段）。 现在 $Q={\displaystyle \frac{mg}{E}}$ 中各量均已知：

$$Q=\frac{m\cdot g}{E}$$

第 2 步——测许多油滴、把电荷画出来。 对大量油滴重复，把所有测得的 $Q$ 值画出。会发现：这些值并非任意分布，而只落在某些台阶上——台阶之间留有空白。所有 $Q$ 都是某个最小电荷的整数倍：

$$Q=n\cdot e,n=1,2,3,\dots$$

第 3 步——把台阶间最小的「步长」读作基本电荷。 台阶间的公共间距就是最小的电荷份额——基本电荷：

$$\boxed{{\displaystyle e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}}$$

✎ 为什么这恰好证明了量子化？ 如果电荷可以任意细分，测量值就该均匀铺满所有数值（没有空白）。可它们偏偏只坐落在固定的格点上，这只能说明存在一个最小、不可再分的电荷份额。

结论： 电荷是量子化的；任何电荷都是 $e$ 的整数倍。(Wikipedia: Oil drop experiment)