11.3 卡文迪许实验——测定 G

来源： 课堂笔记 §7.3.4 · 详见主题 4

牛顿不知道 $G$。卡文迪许首次用扭秤（指用一根细丝悬挂的横梁；微小的引力使细丝扭转，由扭转角即可读出力的大小）直接测出 $G$——平衡时 $F_H=F_G$ → 由此得到 $G$，进而得到地球质量（「称量地球」）。

✎ 为什么说他「称量了地球」？ 因为地表的 $g\approx 9,81$ m/s² 和地球半径 $R_E$ 早已知道，缺的只是 $G$：一旦测出 $G$，由 $g=\frac{G{M}_E}{R_E^2}$ 立即解出 $M_E=\frac{g{R}_E^2}{G}\approx 6\cdot {10}^{24}$ kg。（卡文迪许本人的目标正是确定地球的密度——顺带定出了 $G$。）

让实验得以实现的两个关键技巧：

• 镜子放大法（光杠杆，Lichtzeiger）： 细丝的扭转角极其微小——直接在横梁上根本读不出来。卡文迪许（及后来的改进）在扭丝上固定一面小镜子，让一束光射到镜上、再反射到远处的刻度尺上。当镜子转过微小角 $\alpha$，光点会移动两倍角 $2\alpha$——再借助镜子→刻度尺的长距离，让不到一度的转角变成几十厘米、清晰可读的偏移。这根**光杠杆（Lichtzeiger）**没有质量、没有惯性、长度可以任意大——它在光学上「延长」了指针，把效应放大了好几个数量级。
• 平行测量（标定扭丝，Parallelmessung）： 单凭偏移量还不知道力有多大——必须先知道多大的力矩能把丝扭过多大角度（即扭丝的扭转刚度 $D$）。办法是用一个已知的力让扭秤偏转，或测它作为扭摆的振动周期：由这次标定测得 $D$，于是引力造成的偏移就能直接换算出待测的微小力 $F_G$。这样就把未知的引力归结到一个已知量上。

完整实验（整套装置、镜子放大/光杠杆、平行测量、手绘草图、误差来源）详见主题 4 §4.2——这里只作为引力理论的一个环节。