按 Prof. Linhart 真实出卷风格的三套 Zettel（Zettel 1 为旁听证实的真题 ★）+ 考官追问链 + 答案钥匙——内容锚点以 讲义主题 2 为准。口试约 10 分钟，先在纸上写推导与数字，再围绕卷面讨论。

Zettel 1 — 地球同步卫星 ★（真题卷）

范式定位： „Im Paradigma der klassischen Mechanik genügt ein einziger Gedanke für die ganze Raumfahrt: Die Gravitation liefert die Zentripetalkraft."

1. ★ Erkläre： 卫星（Satellit）的意义与应用——举出至少四类（电视、电信、气象、侦察/导航……）。
2. ★ 物理定律： 地球同步卫星（geostationärer Satellit）背后的物理定律是什么？写出 ansatz（$F_{ZP}=F_G$），解释其中每一个物理量，并说出同步卫星的三个条件。
3. ★ Ableitung durchführen： 从 $F_{ZP}=F_G$ 出发，推导轨道半径 $r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}$。
4. ★ 单位换算 + Rechenbeispiel： $T$ 要用什么单位？代入数字计算 $r$（$M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg，$T\approx 86400$ s），并求离地面的高度。
5. ★ Alltagsbeispiel 收尾： 你家屋顶的**卫星天线锅（Satellitenschüssel）**朝哪个方向？为什么？（北半球）

Zettel 2 — 圆轨道与 ISS

范式定位： „Im Paradigma der klassischen Mechanik fällt ein Satellit ständig — er verfehlt nur immerzu den Boden."

1. Erkläre： 引力一直作用在卫星上，它为什么不掉下来？（牛顿山顶思想实验）
2. Ableitung durchführen： 推导圆轨道速度 $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$。卫星质量为什么不出现在结果里？
3. 追问（轶事）： 1957 年 Sputnik 之后，艾森豪威尔总统问顾问：已知高度与轨道速度，能算出卫星质量吗？
4. Rechenbeispiel： 计算 ISS（$h=400$ km，$R_E=6370$ km）的轨道速度与周期。$r$ 代什么——常见错误是什么？
5. 概念： 什么是第一宇宙速度（erste kosmische Geschwindigkeit）？为什么 ISS 比它稍慢？
6. 误区弯钩： ISS 上的宇航员「失重」——那里没有引力吗？（提示：400 km 高度引力仍约 89%）

Zettel 3 — 逃逸速度与轨道形状

范式定位： „Im Paradigma der klassischen Mechanik entscheidet allein die Gesamtenergie, ob ein Körper gebunden bleibt oder entkommt."

1. Erkläre： 精确定义逃逸速度（Fluchtgeschwindigkeit）——「无穷远处」发生什么？
2. Ableitung durchführen： 用能量守恒推导 $v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{r}}}$。
3. Rechenbeispiel： 计算地球与月球的 $v_F$（月球：$M=7,35\cdot {10}^{22}$ kg，$r=1,74\cdot {10}^6$ m）。
4. 关系： $v_F$ 与同高度圆轨道速度是什么关系？为什么恰好是 $\sqrt{2}$？
5. 总能量三分类： $E_{\text{ges}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$ 的正负如何决定轨道是椭圆、抛物线还是双曲线？
6. 弯钩（通往主题 11）： 若某天体表面 $v_F>c_0$ 会怎样？由此写出史瓦西半径。另：为什么发射场都靠近赤道、向东发射？

考官追问链 / Nachfragen-Kette

1. ★ „Wohin zeigt Ihre Satellitenschüssel zu Hause — und warum?"
2. „Warum ein Sterntag und nicht 24 Stunden?"
3. „Sie haben T in Stunden eingesetzt — was geht da schief?"
4. „Kann ein Satellit über Wien stehen bleiben?"
5. „Eisenhowers Frage: Höhe und Geschwindigkeit bekannt — Masse berechenbar?"
6. „Auf der ISS schweben die Astronauten — gibt es dort keine Gravitation?"
7. „Je höher die Bahn — schneller oder langsamer?"
8. „Warum genau $\sqrt{2}$?"
9. „Die Reibung bremst den Satelliten — warum wird er dann schneller?"
10. „Was passiert, wenn $v_F$ größer als die Lichtgeschwindigkeit wird?"
11. „Warum startet man Raketen nach Osten?"
12. „Was bedeutet eine negative Gesamtenergie?"

§§ANTWORTEN

Zettel 1

1. 应用：卫星电视、电信、气象卫星、侦察卫星；再加导航（GPS）、地球观测。意义：全球通信与观测的基础设施——同步卫星「挂」在天上不动，天线不必跟踪。→ 讲义 §2.3
2. 定律：引力提供向心力，$F_{ZP}=F_G$，即 ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$。物理量：$m$…卫星质量（kg，会约掉）、$M$…地球质量（kg）、$G$…引力常数（$\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg²）、$r$…从地心算起的轨道半径（m）、$v$…轨道速度（m/s）。三个条件：周期 = 一个恒星日（Sterntag）；轨道在赤道上空；与地球自转同向。→ 讲义 §2.3
3. 由 $v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$（约掉 $m$ 后），代 $v=\omega r$：${\omega }^2{r}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$ → ${\omega }^2{r}^3=GM$；代 $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$：${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}{r}^3=GM$ → $r^3={\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$ → $\boxed{{\displaystyle r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}}}$。→ 讲义 §2.3 推导
4. $T$ 必须换算成秒：$T=24\cdot 3600=86400$ s（精确恒星日 86 164 s 只差约 80 km）。代入：$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}974\cdot10^{24}\cdot86,400^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot10^{14}\cdot7{,}46\cdot10^{9}}{39{,}48}} = \sqrt[3]{7{,}54\cdot10^{22}} \approx 4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m} \approx 42,200\ \text{km}$$（验算：$(4,22\cdot {10}^7{)}^3=7,52\cdot {10}^{22}$ ✓）高度：$h=r-R_E\approx 42200-6370\approx 35800$ km。顺带：$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\approx 3,1$ km/s。
5. ★ 朝南——同步卫星只能在赤道上空，从北半球（奥地利约北纬 48°）看，赤道方向就是正南，所以天线锅固定朝南、且不必转动。德语关键句：„Auf der Nordhalbkugel zeigt die Schüssel nach Süden — zum Satelliten über dem Äquator." → 讲义 §2.3

Zettel 2

1. 卫星其实一直在下落，只是横向速度太快，地球表面在它下方以同样速度弯曲离开——它永远「错过」地面（牛顿山顶大炮，见 主题 11 §11.1）。→ 讲义 §2.2
2. ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$ → 两边约掉 $m$ → $v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$ → $\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{GM/r}}}$。卫星质量在等式两边出现、被约掉——同一轨道上羽毛和卡车速度相同。
3. 不能——正因 $m$ 被约掉，轨道数据里不含任何质量信息；质量只能通过相互作用（如碰撞 + 动量守恒）测定。→ 讲义 §2.2
4. $r=R_E+h=6370+400=6770$ km $=6,77\cdot {10}^6$ m（常见错误：只代飞行高度 $h$！）。$$v = \sqrt{\frac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}974\cdot10^{24}}{6{,}77\cdot10^6}} = \sqrt{5{,}89\cdot10^7} \approx 7670\ \text{m/s} \approx 7{,}7\ \text{km/s}$$ $$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot6{,}77\cdot10^6}{7670} \approx 5546\ \text{s} \approx 92\ \text{min}$$（验算：${7670}^2=5,88\cdot {10}^7$ ✓）每天约绕 16 圈。
5. 第一宇宙速度：贴近地面圆轨道（$r=R_E$）所需的速度 $\approx 7,9$ km/s——绕地圆周运动的最小速度。ISS 高 400 km，$r$ 更大 → $v$ 略小（7,7 km/s）：「轨道越高越慢」。
6. 有引力——400 km 处仍约为地表的 $89\mathrm{\%}$（$(6370/6770{)}^2$）。失重是因为宇航员与空间站一起处于自由落体（freier Fall）——绕行就是永远落不到地面的下落。这正是主题 11 的等效原理：自由落体 ≡ 失重。→ 讲义 §2.2 · 主题 11 §11.5

Zettel 3

1. $v_F$ 是在天体表面永远摆脱其引力场所需的速度。精确：以恰好 $v_F$ 出发，经无限长时间、在无限远处速度恰好变为 0。→ 讲义 §2.4
2. 出发：$E_{\text{ges}}={\displaystyle \frac{m{v}_F^2}{2}}$；无穷远：动能耗尽、全部转入势能。令相等：${\displaystyle \frac{m{v}_F^2}{2}}=mgh$ → 约掉 $m$、乘 2：$v_F^2=2gh$；代 $g={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$、$h=r$：$v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$ → $\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{2GM/r}}}$。（严谨版：令表面总能量为零，$\frac{1}{2}m{v}_F^2-\frac{GMm}{r}=0$，同样结果。）→ 讲义 §2.4 推导
3. 地球：$v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{6,37\cdot {10}^6}}}=\sqrt{1,25\cdot {10}^8}\approx 11200$ m/s $\approx 11,2$ km/s。月球：$v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot 7,35\cdot {10}^{22}}{1,74\cdot {10}^6}}}=\sqrt{5,64\cdot {10}^6}\approx 2370$ m/s $\approx 2,4$ km/s。（验算：$11{200}^2=1,25\cdot {10}^8$ ✓；${2370}^2=5,6\cdot {10}^6$ ✓）
4. $v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{圆}}$。两式并排：$v_{\text{圆}}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$、$v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$——唯一区别是根号下的因子 2；相除即得 $\sqrt{2}$。
5. $E_{\text{ges}}<0$ → 被束缚（圆/椭圆，开普勒轨道）；$E_{\text{ges}}=0$ → 恰好 $v=v_F$，抛物线；$E_{\text{ges}}>0$ → 带剩余速度逃逸，双曲线。→ 讲义 §2.5
6. $v_F>c_0$ → 连光都逃不出——黑洞。令 $v_F=c_0$：$R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$（史瓦西半径，详见 主题 11 §11.7）。发射场：地球自西向东自转，赤道地面速度约 $0,46$ km/s——向东发射把它当「免费首付」省燃料。

追问链速答

1. ★ 朝南——卫星在赤道上空，北半球看它在正南方向。
2. 恒星日 = 地球相对恒星转一整圈（23 h 56 min）；「悬停在同一地点上方」看的是真正自转，太阳日多出的 4 分钟来自绕日公转。
3. 量纲错乱——$G$ 的单位含秒，$T$ 必须用秒，否则 $r$ 错几个数量级。
4. 不能——轨道平面必须过地心；绕维也纳纬度圈的圆心在地轴上而非地心，引力给不出这种向心力（从地面看只能画「8」字）。
5. 不能——$m$ 在方程两边约掉，轨道数据不含质量信息。
6. 有（约 89%）——失重 = 与空间站一起自由落体。
7. 越慢（$v=\sqrt{GM/r}$，$r$ 大则 $v$ 小）；同步轨道 3,1 km/s < ISS 7,7 km/s。
8. 根号下多一个因子 2：$v_F^2/v_{\text{圆}}^2=2$。
9. 摩擦减少总能量 → 轨道变低 → $r$ 小则 $v$ 大：下落释放的势能多于摩擦消耗，盈余成动能。
10. 黑洞——事件视界处 $v_F=c_0$，由此得史瓦西半径 $R=2GM/c_0^2$。
11. 地球自西向东转，地面自带向东速度（赤道 $\approx 0,46$ km/s）——免费的初速度。
12. 物体被束缚在势阱里（圆/椭圆轨道）——能量不够逃到无穷远。