2.2 圆轨道卫星

来源： 考纲 §2 · 课堂笔记 §7.5

基本思想

✎ 卫星为什么不掉下来？它其实一直在下落——只是速度太快，地球在它下方以同样的速度弯曲离开，于是它永远「错过」地面。这正是牛顿那个著名的山顶思想实验（见引力物理）。

要稳定绕行，那个向内拉的力必须恰好是圆周运动所需的**向心力。这里这个力就是引力**：

$$F_{\text{ZP}}=F_G$$

逐步推导

第 1 步——写出联立方程。 把两个力按各自公式令相等：左边是向心力 $F_{\text{ZP}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$，右边是引力 $F_G=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$：

$$\frac{m\cdot v^2}{r}=G\cdot \frac{M\cdot m}{r^2}$$

第 2 步——约掉卫星质量 $m$。 等式两边都有因子 $m$ → 整个方程除以 $m$，它完全消失：

$$\frac{v^2}{r}=G\cdot \frac{M}{r^2}$$

这是关键的一步：因为卫星质量被约掉，所以在一条确定轨道上，卫星无论多重都需要同样的速度。（一根羽毛和一辆卡车在同一轨道上会以相同速度运行。）

✎ 追问：艾森豪威尔总统之问（1957）。 苏联发射 Sputnik 后，美国总统问科学顾问：「我们确切知道它的高度和轨道速度，能由此算出它的质量吗？」答案是不能——正因为 $m$ 在方程两边被约掉，轨道数据里不含任何关于卫星质量的信息。质量只能通过相互作用测定，例如与已知质量的物体碰撞后用动量守恒反推。

第 3 步——解出 $v^2$。 两边同乘 $r$，使左边只剩 $v^2$。右边同时约掉一个 $r$（$\frac{r}{r^2}=\frac{1}{r}$）：

$$v^2=\frac{G\cdot M}{r}$$

第 4 步——开平方。 为从 $v^2$ 得到 $v$，两边同取平方根：

$$\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}}}$$

符号	含义	单位
$v$	轨道速度	m/s
$G$	引力常数 $=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}$	N·m²/kg²
$M$	中心天体质量（如地球）	kg
$r$	从中心天体球心算起的轨道半径	m

注意：$r$ 是地球半径 + 高度，不只是飞行高度！

要点：

1. 轨道越高（$r$ 越大），卫星越慢。
2. 周期由轨道周长 ÷ 速度得到：

$$T=\frac{U}{v}=\frac{2\pi r}{v}$$

算例：国际空间站（ISS）

地球半径 $R_E=6370$ km，飞行高度 $h=400$ km → $r=6770000$ m；$M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg。

$$v=\sqrt{\frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{6770000}}\approx 7670\text{ m/s}\approx 7,7\text{ km/s}$$$$T=\frac{2\pi \cdot 6770000}{7670}\approx 5546\text{ s}\approx 92\text{ min}\approx 1,54\text{ h}$$

✎ 也就是说 ISS 每天绕地球约 16 圈——宇航员每天经历 16 次日出日落。(NASA: ISS Facts)

✎ 若在 $v=\sqrt{GM/r}$ 里把半径取在紧贴地球表面处（$r=R_E$）而非 ISS 的高度，得 $v\approx 7,9$ km/s。这个贴近地面圆轨道的速度叫 第一宇宙速度（erste kosmische Geschwindigkeit） —— 物体绕地球做圆周运动所需的最小速度。（ISS 的 $7,7$ km/s 略小一些，因为它高出 400 km——$r$ 越大，$v$ 越小。）

✎ 追问：卫星为什么必须飞那么高——是因为高处引力小吗？ 不是。若地球没有大气（也没有高山阻挡），卫星完全可以贴着树梢高度以约 $7,9$ km/s 绕行——升高只是为了躲开空气阻力。在 ISS 高度（400 km）引力仍约有地表的 $89\mathrm{\%}$（$(6370/6770{)}^2\approx 0,89$）。所以宇航员的「失重」也不是因为没有引力，而是因为他们与空间站一起处于自由落体之中——正如本节开头所说：绕行就是一场永远落不到地面的下落。

✎ 追问：再入悖论（Sputnik，1958）。 低轨卫星被稀薄大气摩擦减速后，人们观测到它反而越来越快——为什么？摩擦使总能量减小 → 卫星螺旋式落入更低的轨道 → 由 $v=\sqrt{GM/r}$，$r$ 变小则 $v$ 变大。能量账：下落中释放的势能多于摩擦消耗掉的部分，盈余变成动能。摩擦夺走的是能量，速度的增加来自下落——「摩擦使卫星加速」只是表象。