2.3 地球同步卫星

来源： 考纲 §2 · 课堂笔记 §7.6

定义

地球同步（地球静止）卫星从地面看始终在同一点上方——仿佛挂在天上不动。需要满足三个条件：

公转周期为一个恒星日（恰好等于地球自转）；轨道在赤道上空；运行方向与地球自转方向一致。

✎ 为什么是「恒星日」（23 时 56 分）而不是 24 小时？ 恒星日是地球相对恒星转一整圈的时间。24 小时（太阳日）略长一点，因为地球同时在绕太阳公转，必须再多转一点点，太阳才回到同一位置。而「始终在同一地球点上方」看的是真正的自转——所以用恒星日。(Wikipedia: Geostationary orbit)

✎ 为什么轨道必须在赤道上空？ 因为引力始终指向地心，而向心力必须指向轨道圆心——所以任何卫星轨道的平面都必须通过地心。想「悬停」在维也纳（北纬 48°）上空，卫星就得沿一个绕地轴的小圆运行，其圆心在地轴上而不在地心——引力给不出这样的向心力（沿地轴方向的分量无法被平衡）。而一条倾斜的过地心轨道虽然周期可以恰好是一天，卫星却会每天在南北半球之间来回摆动（从地面看画「8」字）。唯一既过地心、又不南北摆动的解，就是赤道平面上的轨道。

✎ 同样的「同步」逻辑： 月球的自转周期恰好等于绕地公转周期（同步自转/潮汐锁定）——所以从地球永远只看到月球的同一面；反过来，站在月球正面的人会看到地球永远悬在天上、从不落下。这与同步卫星「悬停」是同一个原理：两个转动周期相等。

应用： 卫星电视、电信、气象卫星、侦察卫星、GPS/导航。✎ 因此北半球的卫星天线锅永远朝南——指向赤道上空的卫星。

✎ 注意：GPS 卫星并不是地球同步卫星！ 导航卫星（GPS、Galileo……）运行在中地球轨道（MEO，Medium Earth Orbit），高度约 20 200 km——比地球同步环（35 800 km）低得多。它们的周期约 12 小时（不是一个恒星日），所以并不静止不动，而是划过天空。逐步说明为何如此：

1. 为什么不做成同步（静止）的？ 定位时，接收机需要同时收到来自不同方向的多颗卫星（三角定位）。若全都固定在赤道上空，几何条件很差，且两极附近会有盲区。
2. 为什么仍要这么高（取 MEO 而非贴地）？ 越高，卫星俯瞰的范围越大，轨道也越稳定（漂移更慢）——这是覆盖范围与信号强度之间的一个好折中。
3. 相对论要点： GPS 之所以能用，正因为同时计入了两套相对论：高处的钟因引力较弱而走得更快（广义相对论），又因轨道速度而走得更慢（狭义相对论）；净效果是每天快几微秒。若不修正，定位误差会每天累积数公里。

轨道半径逐步推导

思路：这里给定的不是速度 $v$，而是周期 $T$（一个恒星日）。所以要把 $v$ 用 $T$ 表示，再对半径 $r$ 求解。

第 1 步——同样写出受力平衡。 与 §2.2 一样，引力提供向心力。我们从已推出的轨道速度出发：

$$v=\sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}⟺v^2=\frac{G\cdot M}{r}$$

第 2 步——把轨道速度换成角速度。 圆轨道上，轨道速度 $v$ 与角速度 $\omega$ 通过 $v=\omega \cdot r$ 相联系（同一个时间节拍里，越靠外的点走过的弧越长）。代入 $v=\omega r$，即 $v^2={\omega }^2{r}^2$：

$${\omega }^2\cdot r^2=\frac{G\cdot M}{r}$$

符号	含义	单位
$\omega$	角速度（${360}^{\circ }=2\pi$）	rad/s
$T$	周期（转一整圈所需时间）	s
$v$	轨道速度 $=\omega r$	m/s

第 3 步——两边同乘 $r$。 这样右边底下的 $r^2$ 消去，左边的 $r$ 幂次合并成 $r^3$：

$${\omega }^2\cdot r^3=G\cdot M$$

第 4 步——把 $\omega$ 用周期 $T$ 表示。 转一整圈就是在时间 $T$ 内转过角 $2\pi$，故 $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$。平方：${\omega }^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}$。代入：

$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}\cdot r^3=G\cdot M$$

第 5 步——解出 $r^3$。 两边同乘 ${\displaystyle \frac{T^2}{4{\pi }^2}}$（把整个系数移过去），使左边只剩 $r^3$：

$$r^3=\frac{G\cdot M\cdot T^2}{4{\pi }^2}$$

第 6 步——开立方根。 因为左边是 $r^3$（体积量纲的幂），用立方根取出 $r$：

$$\boxed{{\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{G\cdot M\cdot T^2}{4{\pi }^2}}}}$$

符号	含义	单位
$r$	轨道半径（地心 → 卫星）	m
$G$	引力常数	N·m²/kg²
$M$	地球质量	kg
$T$	周期 = 1 个恒星日	s

算例

$T=24\cdot 3600=86400$ s（此处用整 24 h 近似计算；精确的恒星日 86,164 s 只把结果改变约 80 km），$M=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg：

$$r=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}\cdot 86{400}^2}{4{\pi }^2}}\approx 4,22\cdot {10}^7\text{ m}\approx 42200\text{ km}$$

距地面高度：$h=r-R_E\approx 42200-6370\approx 35800$ km。(Wikipedia: Geostationary orbit)

✎ 顺带可算出同步轨道上的速度：$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot 4,22\cdot {10}^7}{86400}}\approx 3,1$ km/s——远慢于 ISS 的 $7,7$ km/s，符合「轨道越高越慢」。

考试陷阱：$T$ 一定要换算成秒！