14.6 电阻率

来源： 课堂笔记 §5.1.9

一根导线的电阻不仅取决于材料，也取决于它的形状：

$$\boxed{{\displaystyle R=\varrho \cdot \frac{l}{A}}}$$

符号	含义
$R$	导体电阻
$\varrho$	电阻率（与材料和温度有关），单位 $\mathrm{\Omega }\cdot$m
$l$	导体长度
$A$	横截面积

✎ 公式从何而来——逐项论证每个依赖关系。

1. 越长 ⇒ 电阻越大（$R\propto l$）： 在更长的路上，电子要经过更多原子实、被更频繁地减速（相互作用更多）。长度加倍 = 「障碍」多一倍 = 电阻加倍。（如同两个相同电阻串联：$R_{\text{总}}=2R$。）
2. 越粗 ⇒ 电阻越小（$R\propto 1/A$）： 更大的截面 $A$ 给电子更多并行「车道」→ 通过的电流更多，电阻减小。截面加倍 = 电阻减半。（如同两个电阻并联。）所以 $A$ 在分母。
3. 材料 ⇒ $\varrho$： 电阻率 $\varrho$ 概括了某材料把电子拦得多厉害（与形状无关）。金/铜的 $\varrho$ 小（良导体），铁/铅的 $\varrho$ 较大（较差导体）。
4. 越热 ⇒ 电阻越大： 温度越高，原子实振动越剧烈 → 电子碰撞越频繁 → 减速越多。这藏在 $\varrho$ 里（与温度有关），也是 §14.7 的基础。

✎ 算例——铜缆，逐步。 $l=100$ m，直径 $d=1$ mm $={10}^{-3}$ m，${\varrho }_{\text{Cu}}\approx 1,7\cdot {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\text{m}$。

1. 横截面积（圆）：$A=\pi {\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2=\pi (0,5\cdot {10}^{-3}\text{m}{)}^2\approx 7,85\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2$。
2. 代入：$R=\varrho {\displaystyle \frac{l}{A}}=1,7\cdot {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\text{m}\cdot {\displaystyle \frac{100\text{m}}{7,85\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}}$。
3. 计算：${\displaystyle \frac{100}{7,85\cdot {10}^{-7}}}\approx 1,27\cdot {10}^8$，乘以 $1,7\cdot {10}^{-8}$ → $R\approx \mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{17}\mathbf{\Omega }$。（一根长铜线的电阻就这么小——正因如此电缆用铜。）