12.7 半衰期与衰变定律

来源： 课堂笔记 §3.3.4–§3.3.6

半衰期 $T_{1/2}$ 是一半不稳定核衰变所需的时间。同位素越不稳定，$T_{1/2}$ 越短——因为越不稳定意味着单位时间衰变概率越高（$\lambda$ 越大），而 $T_{1/2}=\ln 2/\lambda$ 与之成反比。

它是统计概念：只在核很多时（大系综）才有意义。为什么衰变有原因（如能量太多），但衰变的时刻没有原因——衰变完全随机（量子随机性 Quantenzufall）。这不是人类的无知，而是宇宙的本性：「连大自然自己都不知道一个原子何时衰变」。

衰变定律：

$$N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}=N_0\cdot e^{-\lambda t},\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

符号	含义
$N_0$	初始量（$t=0$ 时）
$N(t)$	时刻 $t$ 仍存在的量
$T_{1/2}$	半衰期
$\lambda$	衰变常数（单位时间的衰变概率），单位 1/s

✎ $2^{-t/T_{1/2}}$ 从何而来？（「不断折半」的思路，逐步） 半衰期的定义说：每过一段 $T_{1/2}$，就剩下一半。我们直接数「折半的次数」：

1. 过 $0\cdot T_{1/2}$：$N=N_0$（还都在）。
2. 过 $1\cdot T_{1/2}$：$N=\frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-1}$。
3. 过 $2\cdot T_{1/2}$：$N=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-2}$。
4. 过 $n\cdot T_{1/2}$（即折半 $n$ 次）：$N=N_0\cdot 2^{-n}$。
5. 时间 $t$ 内含的半衰期个数是 $n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}$。代入 → $\boxed{{\displaystyle N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}}}$。（$n$ 非整数时这个幂同样成立。）

✎ $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}$ 从何而来？（把底数 2 换成底数 $e$，逐步） 两种写法（$2^{-t/T_{1/2}}$ 与 $e^{-\lambda t}$）必须给出同一个 $N(t)$。把一个化成另一个：

1. 技巧：任何数都能写成 $e$ 的幂——特别地 $2=e^{\ln 2}$（因为 $\ln$ 与 $e^{(\cdot )}$ 互相抵消）。
2. 于是 $2^{-t/T_{1/2}}={\left(e^{\ln 2}\right)}^{-t/T_{1/2}}$。
3. 用幂的法则 $(e^a{)}^b=e^{a\cdot b}$：$=e^{-\ln 2\cdot t/T_{1/2}}=e^{-\left(\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\right)t}$。
4. 与 $e^{-\lambda t}$ 比较：$t$ 前的系数必须一致 → $\boxed{{\displaystyle \lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}}}$。
5. $\lambda$ 的直观含义？ 它是单个核单位时间的衰变概率。$\lambda$ 大 = 衰变快 = $T_{1/2}$ 短（两者成反比，$\ln 2\approx \mathrm{0,693}$）。这正好印证上面：越不稳定 ⇒ $\lambda$ 越大 ⇒ $T_{1/2}$ 越短。

✎ 解题套路（适用于所有题）： 剩余比例 $={\displaystyle \frac{N(t)}{N_0}}=2^{-t/T_{1/2}}$。即 (1) 算半衰期个数 $n=t/T_{1/2}$，(2) 算 $2^{-n}$。完毕。

✎ 算例 1——O-15（PET 同位素，$T_{1/2}=2,03$ min）。一批配送晚到 13 min，还剩多少？

1. 半衰期个数：$n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}={\displaystyle \frac{13\text{min}}{2,03\text{min}}}\approx 6,40$。
2. 剩余比例：$2^{-6,40}={\displaystyle \frac{1}{2^{6,40}}}$。$2^6=64$、$2^{0,40}\approx 1,32$，故 $2^{6,40}\approx 64\cdot 1,32\approx 84,5$。
3. ${\displaystyle \frac{1}{84,5}}\approx \mathrm{0,011}8=\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{18}\mathbf{\%}$ → 几乎全衰变。所以科研负责人很恼火——同位素几乎「没了」（$T_{1/2}$ 短意味着必须在回旋加速器（一种环形粒子加速器，把带电粒子加速到高能，从而在医院现场制备这类短寿命同位素）旁现场制备、立即使用）。

✎ 算例 2——Cs-137 与 Sr-90（典型反应堆产物）。Cs-137：$T_{1/2}=30,2$ 年，问 36 年后。

1. $n={\displaystyle \frac{36}{30,2}}\approx 1,19$ 个半衰期（即略多于一次折半）。
2. $2^{-1,19}={\displaystyle \frac{1}{2^{1,19}}}$，而 $2^{1,19}\approx 2,28$。
3. ${\displaystyle \frac{1}{2,28}}\approx \mathrm{0,438}=\mathbf{43}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\%}$——36 年后还剩近一半。 Sr-90 半衰期非常接近（$T_{1/2}\approx 28,8$ 年），衰变几乎一样慢。✎ 这类中等半衰期（数十年）特别棘手：短寿命的很快没了，极长寿命的辐射很弱——而「数十年」意味着仍有相当的活度 且 在环境与体内滞留很久。

✎ 算例 3——I-131（甲状腺，$T_{1/2}=8$ 天），问 40 天后。

1. $n={\displaystyle \frac{40\text{d}}{8\text{d}}}=5$——这次恰好是 5 个整半衰期（干净的折半）。
2. $2^{-5}={\displaystyle \frac{1}{2^5}}={\displaystyle \frac{1}{32}}$。
3. ${\displaystyle \frac{1}{32}}\approx \mathrm{0,031}3=\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{13}\mathbf{\%}$。是否危险取决于初始量 $N_0$——核电站事故时，哪怕是巨量的 $3\mathrm{\%}$ 也可能很多。