目标公式：

$$N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}=N_0\cdot e^{-\lambda t},\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

适用范围/假设：

• 大量核（$N\gg 1$）：单个核何时衰变是量子随机的，定律只对统计平均成立。
• 每个核的衰变概率恒定、与历史无关（"核没有记忆"）——这正是"每过一个 $T_{1/2}$ 就减半"的根源。
• 衰变与温度、压强、化学环境无关（核内 MeV 量级 ≫ 化学 eV 量级）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$T_{1/2}$：每过一个半衰期剩一半	Halbwertszeit 的定义	❌ 不在 Formelnheft——定义，考场需自己写出
$N=N_0\cdot e^{-\lambda t}$	Radioaktiver Zerfall（衰变定律 e 形式）	✅ S. 5 („Radioaktiver Zerfall $N=N_0\cdot e^{-\lambda t}$")
$a^x=e^{x\ln a}$	指数换底（数学恒等式）	❌ 数学工具，不在 Formelnheft
$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}$	衰变常数与半衰期的关系	❌ 不在 Formelnheft——本文推出，考场需会推

推导（Schritt für Schritt）

第 1 步——从"等时减半"数出 2 的幂

半衰期 $T_{1/2}$ 的定义：每过一段 $T_{1/2}$，未衰变核数剩下一半。直接数"折半的次数"：

1. 过 $0\cdot T_{1/2}$：$N=N_0$（都还在）。
2. 过 $1\cdot T_{1/2}$：$N=\frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-1}$。
3. 过 $2\cdot T_{1/2}$：$N=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-2}$。
4. 过 $n\cdot T_{1/2}$（折半 $n$ 次）：$$N=N_0\cdot 2^{-n}$$
5. 时间 $t$ 中含多少个半衰期？ $n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}$。代入：$$\boxed{{\displaystyle N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}}}$$✎ 近似说明： 第 1–4 步只对整数 $n$ 是字面意义的"数数"；因为衰变概率恒定，过程在任意小时间段内都按同一比例衰减（光滑的指数过程），所以幂对非整数 $n$ 同样成立。

第 2 步——换底到 e，与 Formelnheft 对接

Formelnheft S. 5 给的是 $N=N_0{e}^{-\lambda t}$。两种写法必须是同一个函数——把底数 2 换成 e：

1. 数学恒等式： $2=e^{\ln 2}$（$\ln$ 的定义）。
2. 代入幂：$$2^{-t/T_{1/2}}={\left(e^{\ln 2}\right)}^{-t/T_{1/2}}=e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}t}$$（用了幂法则 $(e^a{)}^b=e^{ab}$。）
3. 对比 $e^{-\lambda t}$ 的指数，逐项相等给出：$$\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}}}$$
4. 物理含义： $\lambda$ 是单位时间的衰变概率（衰变常数）。$T_{1/2}$ 越短 ↔ $\lambda$ 越大 ↔ 同位素越不稳定——二者成反比，与讲义 §12.7 的表述一致。

第 3 步——算例 Cs-137（验算）

Cs-137： $T_{1/2}=30,2$ a，问 $t=36$ a 后剩多少。

1. 半衰期个数： $n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}={\displaystyle \frac{36}{30,2}}\approx 1,19$（略多于一次折半）。
2. 2 的幂形式： $2^{-1,19}={\displaystyle \frac{1}{2^{1,19}}}\approx {\displaystyle \frac{1}{2,28}}\approx \mathrm{0,438}$。
3. e 形式独立验算： $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{30,2\text{a}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}1}{30,2}}\approx \mathrm{0,022}95{\text{a}}^{-1}$； $\lambda t=\mathrm{0,022}95\cdot 36\approx \mathrm{0,826}$；$e^{-\mathrm{0,826}}\approx \mathrm{0,438}$。✓ 两条路一致。
4. 结论： 36 年后约剩 $\mathbf{43}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\%}$——与讲义 §12.7 算例 2 完全一致。

活度（一句话）

活度 $A=\lambda N$ 是每秒的衰变次数（单位 Bq＝1/s）；因 $N(t)$ 按指数衰减，活度同样满足 $A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$（❌ 不在 Formelnheft）。

变量表

符号	含义	SI 单位
$N(t)$	$t$ 时刻尚未衰变的核数	—（个数）
$N_0$	初始核数（$t=0$）	—（个数）
$t$	经过的时间	s（算例中用 a＝年，比值 $t/T_{1/2}$ 无量纲，单位只需一致）
$T_{1/2}$	半衰期（Halbwertszeit）	s（Cs-137：$30,2$ a）
$n$	半衰期个数 $=t/T_{1/2}$	—（无量纲）
$\lambda$	衰变常数（Zerfallskonstante）＝单位时间衰变概率	1/s
$A$	活度（Aktivität）$=\lambda N$	Bq＝1/s

关联

• 讲义出处：主题 12 §12.7（折半思路、换底、Cs-137 算例与本文口径一致）
• 应用：主题 12 §12.8 C-14 测年
• μ 子寿命也是指数衰变的平均值：H13