Zielformeln:

$$N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}=N_0\cdot e^{-\lambda t},\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

Gültigkeit/Annahmen:

• Große Kernanzahl ($N\gg 1$): Wann ein einzelner Kern zerfällt, ist quantenmechanisch zufällig; das Gesetz gilt nur für den statistischen Mittelwert.
• Die Zerfallswahrscheinlichkeit jedes Kerns ist konstant und geschichtsunabhängig („Kerne haben kein Gedächtnis") — genau daraus folgt das „Halbieren pro $T_{1/2}$".
• Der Zerfall ist unabhängig von Temperatur, Druck und chemischer Umgebung (Kernenergien im MeV-Bereich ≫ chemische eV).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$T_{1/2}$: pro Halbwertszeit bleibt die Hälfte	Definition der Halbwertszeit	❌ nicht im Formelnheft — Definition, selbst anschreiben
$N=N_0\cdot e^{-\lambda t}$	Radioaktiver Zerfall (e-Form)	✅ S. 5 („Radioaktiver Zerfall $N=N_0\cdot e^{-\lambda t}$")
$a^x=e^{x\ln a}$	Basiswechsel (mathematische Identität)	❌ Mathematik, nicht im Formelnheft
$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}$	Zerfallskonstante ↔ Halbwertszeit	❌ nicht im Formelnheft — wird hier hergeleitet, muss man können

Herleitung (Schritt für Schritt)

Schritt 1 — vom „Halbieren in gleichen Zeitabständen" zur Zweierpotenz

Definition der Halbwertszeit $T_{1/2}$: Nach jeder Zeitspanne $T_{1/2}$ ist noch die Hälfte der Kerne übrig. Wir zählen die Halbierungen einfach ab:

1. Nach $0\cdot T_{1/2}$: $N=N_0$ (alle noch da).
2. Nach $1\cdot T_{1/2}$: $N=\frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-1}$.
3. Nach $2\cdot T_{1/2}$: $N=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-2}$.
4. Nach $n\cdot T_{1/2}$ ($n$ Halbierungen):$$N=N_0\cdot 2^{-n}$$
5. Wie viele Halbwertszeiten stecken in der Zeit $t$? $n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}$. Einsetzen:$$\boxed{{\displaystyle N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}}}$$✎ Anmerkung zur Näherung: Die Schritte 1–4 sind nur für ganzzahliges $n$ wörtliches „Abzählen"; weil die Zerfallswahrscheinlichkeit konstant ist, fällt der Bestand in jedem noch so kleinen Zeitabschnitt um denselben Faktor (glatter Exponentialprozess) — die Potenz gilt daher auch für nicht-ganzzahliges $n$.

Schritt 2 — Basiswechsel zu e: Anschluss an das Formelnheft

Das Formelnheft S. 5 gibt $N=N_0{e}^{-\lambda t}$. Beide Schreibweisen müssen dieselbe Funktion sein — Basis 2 in e umrechnen:

1. Mathematische Identität: $2=e^{\ln 2}$ (Definition von $\ln$).
2. In die Potenz einsetzen:$$2^{-t/T_{1/2}}={\left(e^{\ln 2}\right)}^{-t/T_{1/2}}=e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}t}$$(Potenzregel $(e^a{)}^b=e^{ab}$.)
3. Exponentenvergleich mit $e^{-\lambda t}$ liefert:$$\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}}}$$
4. Physikalische Bedeutung: $\lambda$ ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (Zerfallskonstante). Kürzeres $T_{1/2}$ ↔ größeres $\lambda$ ↔ instabileres Isotop — umgekehrt proportional, wie im Skriptum §12.7.

Schritt 3 — Rechenbeispiel Cs-137 (mit Probe)

Cs-137: $T_{1/2}=30,2$ a; wie viel bleibt nach $t=36$ a?

1. Anzahl Halbwertszeiten: $n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}={\displaystyle \frac{36}{30,2}}\approx 1,19$ (etwas mehr als eine Halbierung).
2. Zweierpotenz-Form: $2^{-1,19}={\displaystyle \frac{1}{2^{1,19}}}\approx {\displaystyle \frac{1}{2,28}}\approx \mathrm{0,438}$.
3. Unabhängige Probe mit der e-Form: $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{30,2\text{a}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}1}{30,2}}\approx \mathrm{0,022}95{\text{a}}^{-1}$; $\lambda t=\mathrm{0,022}95\cdot 36\approx \mathrm{0,826}$; $e^{-\mathrm{0,826}}\approx \mathrm{0,438}$. ✓ Beide Wege stimmen überein.
4. Ergebnis: Nach 36 Jahren sind noch ca. $\mathbf{43}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\%}$ übrig — identisch mit Beispiel 2 im Skriptum §12.7.

Aktivität (ein Satz)

Die Aktivität $A=\lambda N$ ist die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde (Einheit Bq = 1/s); da $N(t)$ exponentiell fällt, gilt ebenso $A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$ (❌ nicht im Formelnheft).

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$N(t)$	Anzahl der zur Zeit $t$ noch nicht zerfallenen Kerne	— (Anzahl)
$N_0$	Anfangsanzahl ($t=0$)	— (Anzahl)
$t$	verstrichene Zeit	s (im Beispiel a = Jahre; das Verhältnis $t/T_{1/2}$ ist dimensionslos, Einheiten müssen nur konsistent sein)
$T_{1/2}$	Halbwertszeit	s (Cs-137: $30,2$ a)
$n$	Anzahl der Halbwertszeiten $=t/T_{1/2}$	— (dimensionslos)
$\lambda$	Zerfallskonstante = Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit	1/s
$A$	Aktivität $=\lambda N$	Bq = 1/s

Verknüpfungen

• Skriptum: Thema 12 §12.7 (Halbierungs-Idee, Basiswechsel und Cs-137-Beispiel identisch)
• Anwendung: Thema 12 §12.8 C-14-Methode
• Auch die Myon-Lebensdauer ist ein Mittelwert eines Exponentialzerfalls: H13