Zielformeln:

$$\text{Erdsystem:}d=v\cdot t=v\cdot \gamma \tau \text{Myonsystem:}\ell =\frac{{\ell }_0}{\gamma }$$

Gültigkeit/Annahmen:

• Inertialsysteme (die Erde näherungsweise; das Myon fliegt geradlinig-gleichförmig, $v=\text{const}$).
• Der Gamma-Faktor $\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$ wird hier nicht selbst hergeleitet — er steht direkt im Formelnheft S. 5 und darf zitiert werden.
• $\tau =2,2\mu$s ist die mittlere Lebensdauer (Mittelwert des exponentiellen Zerfalls); sie wird unten als „typische Lebensdauer" verwendet — eine statistische Näherung, die das Ergebnis (klassisches Versagen, relativistische Konsistenz) nicht ändert.
• ★ Maturafrage: Bogen „Physikalische Naturphänomene" (kosmische Strahlung / Myonenproblem).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$	Gamma-Faktor	✅ S. 5 („$\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$")
$t=t_0\cdot \gamma$	Zeitdilatation	✅ S. 5 („Zeitdilatation $t=t_0\cdot \gamma$")
$\ell ={\ell }_0\cdot {\displaystyle \frac{1}{\gamma }}$	Längenkontraktion	✅ S. 5 („Längenkontraktion $l=l_0\cdot (1/\gamma )$")
$v={\displaystyle \frac{s}{t}}$	Definition der gleichförmigen Bewegung	❌ nicht im Formelnheft — elementare Definition, selbst anschreiben
$c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Lichtgeschwindigkeit	✅ S. 1 (Konstantentabelle)

Herleitung (Schritt für Schritt)

Schritt 0 — der klassische Widerspruch (warum Relativität nötig ist)

1. Klassische Maximalreichweite = maximal mögliche Geschwindigkeit × Lebensdauer. Nichts ist schneller als Licht, also $v\le c$:$$d_{\text{max}}=c\cdot \tau$$
2. Einsetzen ($c\approx 3\cdot {10}^8$ m/s, $\tau =2,2\cdot {10}^{-6}$ s):$$d_{\text{max}}\approx 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2,2\cdot {10}^{-6}\text{s}\approx 660\text{m}$$
3. Myonen entstehen in $h\approx 20$ km Höhe: $660\text{m}\ll 20\text{km}$ — klassisch erreicht kein Myon den Boden. Gemessen werden sie dort aber massenhaft → die klassische Physik versagt vollständig (nicht knapp: klassisch käme nur ein Anteil ${\mathrm{e}}^{-20000/660}\approx {10}^{-13}$ an).

Weg A — Zeitdilatation (aus Sicht der Erde)

1. Eigenzeit identifizieren. Die Lebensdauer $\tau =2,2\mu$s ist mit der eigenen Uhr des Myons gemessen — die Uhr ruht relativ zum Myon, also ist $\tau$ das $t_0$ der Formelnheft-Formel.
2. Zeitdilatation anwenden (S. 5). Im Erdsystem geht die bewegte Uhr langsamer; das Myon „lebt" für uns die gedehnte Zeit$$t=\gamma \tau$$
3. $\gamma$ berechnen ($v=\mathrm{0,999}5c$):$$\frac{v^2}{c^2}=\mathrm{0,999}{5}^2=\mathrm{0,999}00025,1-\frac{v^2}{c^2}=\mathrm{9,997}5\cdot {10}^{-4}$$$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{\mathrm{9,997}5\cdot {10}^{-4}}}=\frac{1}{\mathrm{0,031}619}\approx 31,6$$(Das Skriptum rundet auf „ca. 32" — derselbe Wert, nur anders gerundet.)
4. Gedehnte Lebensdauer:$$t=\gamma \tau \approx 31,6\cdot 2,2\mu \text{s}\approx 69,6\mu \text{s}$$
5. Flugstrecke (gleichförmig, $d=v\cdot t$):$$d=v\cdot \gamma \tau \approx \mathrm{0,999}5\cdot \mathrm{2,997}9\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 6,96\cdot {10}^{-5}\text{s}\approx \mathrm{2,086}\cdot {10}^4\text{m}\approx \mathbf{21}\mathbf{km}$$
6. Schluss A: $21\text{km}\ge 20\text{km}$ ✓ — im Erdsystem lebt das Myon dank Zeitdilatation lange genug, um vom Entstehungsort bis zum Boden zu kommen.

Weg B — Längenkontraktion (aus Sicht des Myons)

1. Das Myon selbst merkt nichts. In seinem eigenen System beträgt die Lebensdauer einfach $\tau =2,2\mu$s — nichts ist gedehnt.
2. Ruhelänge identifizieren. Die 20 km Atmosphäre sind im System gemessen, in dem die Atmosphäre ruht (Erdsystem) — das ist das ${\ell }_0$ des Formelnhefts.
3. Längenkontraktion anwenden (S. 5). Für das Myon bewegt sich die Atmosphäre entgegen und ist daher verkürzt:$$\ell =\frac{{\ell }_0}{\gamma }=\frac{20000\text{m}}{31,6}\approx \mathbf{630}\mathbf{m}$$
4. In der Lebensdauer erreichbare Strecke:$$v\cdot \tau \approx \mathrm{0,999}5\cdot \mathrm{2,997}9\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2,2\cdot {10}^{-6}\text{s}\approx 659\text{m}\approx 660\text{m}$$
5. Schluss B: $630\text{m}\le 660\text{m}$ ✓ — aus Sicht des Myons sind nur noch ca. 630 m Atmosphäre zu durchqueren; die kurze Lebensdauer reicht gerade aus.

Schritt 3 — Vergleich der Perspektiven = Konsistenz der Relativitätstheorie

	Zeit	Strecke	Ergebnis
Erdsystem (Weg A)	gedehnt: $\gamma \tau \approx 69,6\mu$s	Originallänge 20 km	kommt an ✓
Myonsystem (Weg B)	Original $\tau =2,2\mu$s	verkürzt: $20\text{km}/\gamma \approx 630$ m	kommt an ✓

Beide Bezugssysteme liefern für die beobachtbare Tatsache (Myon erreicht den Boden) dasselbe Ergebnis — die gedehnte Zeit des einen ist die verkürzte Strecke des anderen (beide über dasselbe $\gamma$ verknüpft). Genau das ist die Selbstkonsistenz der SRT: physikalische Schlussfolgerungen hängen nicht von der Wahl des Bezugssystems ab.

✎ Schreibweise: Das Skriptum schreibt $t_b=t_r\sqrt{1-v^2/c^2}$ (umgestellt, andere Indizes) — das ist dieselbe Formel wie $t=t_0\gamma$ im Formelnheft; Inhalt unverändert: die bewegte Uhr zeigt weniger Zeit an.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$\tau$ ($=t_0$)	mittlere Lebensdauer des Myons = Eigenzeit (mitbewegte Uhr)	s ($2,2\cdot {10}^{-6}$ s)
$t$	im Erdsystem gemessene (gedehnte) Lebensdauer	s
$\gamma$	Lorentz-/Gamma-Faktor	— (dimensionslos, hier $\approx 31,6$)
$v$	Geschwindigkeit des Myons ($\mathrm{0,999}5c$)	m/s
$c$	Vakuumlichtgeschwindigkeit $=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ (Formelnheft S. 1)	m/s
$d$	Flugstrecke im Erdsystem	m
${\ell }_0$	Ruhelänge (Atmosphärendicke $\approx 20$ km, im Erdsystem)	m
$\ell$	(kontrahierte) Atmosphärendicke im Myonsystem	m

Verknüpfungen

• Skriptum: Thema 6 §6.2 (Zahlen identisch: 660 m / γ≈32 / 21 km / 630 m)
• Hintergrund kosmische Strahlung: Thema 6 §6.1, Thema 12 §12.10
• Exponentieller Zerfall ($\tau$ ist ein Mittelwert): H14