Zielformeln:

$$\text{Punktquelle (Kugel):}I=\frac{P}{4\pi r^2}\propto \frac{1}{r^2}\text{Linienquelle (Zylinder):}I=\frac{P}{2\pi rL}\propto \frac{1}{r}$$

Gültigkeit/Annahmen:

• Energieerhaltung, keine Absorption: Die Quellleistung $P$ ist konstant; die Energie verschwindet nicht, sondern verteilt sich auf immer größere Wellenfronten (real absorbiert Luft, hohe Frequenzen stärker — hier vernachlässigt, also Näherung).
• Punktquelle: isotrope Abstrahlung (gleichmäßig in alle Richtungen) → Wellenfront = Kugelfläche.
• Linienquelle: Kanal näherungsweise unendlich lange Gerade, gleichmäßig strahlend → Wellenfront = Zylindermantel; gültig für $r\ll L$ (Abstand klein gegen Kanallänge).
• Dieselbe Geometrie gilt für jede von einer Quelle nach außen laufende Strahlung (Schall, Licht, γ-Strahlung — Abstandsquadratgesetz im Strahlenschutz).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$I={\displaystyle \frac{P}{A}}$	Definition der Intensität (Leistung pro Fläche)	❌ nicht im Formelnheft — Definition, selbst anschreiben
$P={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}}$	Leistung	✅ S. 2 („$P=\mathrm{\Delta }W/\mathrm{\Delta }t$")
$A_{\text{Kugel}}=4\pi r^2$	Kugeloberfläche	❌ Mathematik, nicht im Formelnheft
$A_{\text{Zylinder}}=2\pi r\cdot L$	Zylindermantelfläche	❌ Mathematik, nicht im Formelnheft
$L=10\cdot \log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}$	Lautstärke (für die Erweiterung)	✅ S. 3 („Lautstärke")

⚠️ Die Zielformeln selbst stehen nicht im Formelnheft (❌) — sie müssen aus „Leistung verteilt sich auf die Wellenfront" vor Ort hergeleitet werden; die nötigen Flächenformeln sind elementare Mathematik.

Herleitung (Schritt für Schritt)

Schritt 1 — Kernidee: Intensität = Leistung pro Fläche

1. Die Quelle gibt pro Sekunde die Energie $P$ ab (Leistung, S. 2). Wegen Energieerhaltung verschwindet diese Energie nicht, sondern wandert mit der Wellenfront nach außen.
2. Definition der Intensität: Im Abstand $r$ ist die Leistung pro Fläche der Wellenfront $A(r)$$$I(r)=\frac{P}{A(r)}$$
3. Alles reduziert sich also auf eine Geometriefrage: Wie wächst die Wellenfrontfläche $A$ mit $r$?

Schritt 2 — Punktquelle: Kugel → $1/r^2$

1. Eine Punktquelle strahlt gleichmäßig in alle Richtungen → die Wellenfront ist eine Kugelfläche mit Radius $r$ um die Quelle.
2. Kugeloberfläche (Mathematik): $A=4\pi r^2\propto r^2$ (Expansion in zwei Richtungen zugleich).
3. In die Definition einsetzen:$$\boxed{{\displaystyle I=\frac{P}{4\pi r^2}\propto \frac{1}{r^2}}}$$
4. Verdopplungstest: $r\to 2r$ → Fläche $2^2=4$-fach → Intensität auf ¼.
5. Zahlenprobe: Punktquelle mit $P=100$ W: bei $r=10$ m ist $I={\displaystyle \frac{100}{4\pi \cdot 100}}\approx \mathrm{0,080}$ W/m²; bei $r=20$ m ist $I={\displaystyle \frac{100}{4\pi \cdot 400}}\approx \mathrm{0,020}$ W/m² — genau ¼ ✓.

Schritt 3 — Linienquelle (Blitzkanal): Zylinder → $1/r$

1. Der lange Blitzkanal strahlt nicht von einem Punkt, sondern entlang einer Geraden (Länge $L$) → die Wellenfront ist ein Zylindermantel mit Radius $r$ um die Linie.
2. Mantelfläche (Mathematik): $A=2\pi r\cdot L\propto r$ — nur erste Potenz: Der Mantel expandiert nur in eine Richtung (radial), nicht entlang der Kanallänge $L$ (Stirnflächen für $r\ll L$ vernachlässigbar — Näherung benannt).
3. In die Definition einsetzen:$$\boxed{{\displaystyle I=\frac{P}{2\pi rL}\propto \frac{1}{r}}}$$
4. Verdopplungstest: $r\to 2r$ → Fläche nur 2-fach → Intensität nur auf ½.

Schritt 4 — Vergleich und Anwendungen

	Wellenfront	$A(r)$	$I(r)$	$r$ verdoppelt	Pegeländerung (S. 3)
Punktquelle	Kugel	$4\pi r^2$	$\propto 1/r^2$	→ ¼	$10\log 4\approx -6$ dB
Linienquelle	Zylinder	$2\pi rL$	$\propto 1/r$	→ ½	$10\log 2\approx -3$ dB

1. Donner: Langer Blitzkanal = Linienquelle → der Donner wird mit der Entfernung deutlich langsamer leiser ($1/r$); zudem sind die Kanalabschnitte unterschiedlich weit entfernt, der Schall kommt nacheinander an → Donnergrollen. Aus großer Entfernung schrumpft der Kanal effektiv zum Punkt → Übergang zurück zu $1/r^2$.
2. Strahlenschutz (das „A" Abstand der 3A-Regel): Eine γ-Punktquelle folgt demselben $1/r^2$ — ein Schritt zurück bringt enorm viel: doppelter Abstand → ¼ Dosisleistung, dreifacher → 1/9. Genau das ist die quantitative Grundlage von „Abstand" in Thema 12 §12.6.
3. Anschluss ans Formelnheft (Lautstärke): Mit S. 3 „Lautstärke" werden Intensitätsverhältnisse in dB übersetzt (Tabelle oben) — Punktquelle −6 dB, Linienquelle −3 dB pro Abstandsverdopplung.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$I$	Schallintensität (Leistung pro Fläche)	W/m²
$P$	(Schall-)Leistung der Quelle	W
$A$	Wellenfrontfläche im Abstand $r$	m²
$r$	Abstand zur Quelle (Punkt bzw. Linie)	m
$L$	Länge der Linienquelle (Blitzkanal)	m
$L_{\text{dB}}$	Lautstärkepegel (Erweiterung)	dB
$I_0$	Referenzintensität der Hörschwelle (${10}^{-12}$ W/m², Referenzwert der S.-3-Definition)	W/m²

Verknüpfungen

• Skriptum: Thema 6 §6.4 (Schritt-für-Schritt-Herleitung identisch), Thema 6 §6.3 (Donner)
• Abstandsquadratgesetz im Strahlenschutz: Thema 12 §12.6
• Wellengrundlagen ($c=\lambda f$, Longitudinalwellen): H15, Thema 13 §13.4