Zielformel:

$$\boxed{{\displaystyle Q=\frac{mgd}{U}}},r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2\rho g}},Q=n\cdot e\Rightarrow e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{C}$$

Gültigkeitsbereich / Annahmen:

• Homogenes Feld im Plattenkondensator: $E=U/d$ (Plattenabstand $d$ klein gegen die Plattenausdehnung).
• Öltröpfchen als winzige Kugel; gleichmäßiges Sinken nach dem Stokes-Gesetz (laminar, langsam, kleine Kugel).
• Öl statt Wasser: verdunstet während der Messung nicht, $m,r$ bleiben konstant; Auftrieb in Luft vernachlässigt (Physik+-Hinweis im Skript).
• In Phase 2 wird im gleichförmigen Sinkabschnitt abgelesen (nachdem das Kräftegleichgewicht erreicht ist).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$F=E\cdot Q$	Kraft im elektrischen Feld	✅ S. 4 („$F=E\cdot Q$")
$W=\mathrm{\Delta }\phi \cdot Q=U\cdot Q$	elektrische Arbeit/Spannung	✅ S. 4 („$W=U\cdot Q$", für die Herleitung von $E=U/d$)
$F=m\cdot g$	Gewichtskraft	✅ S. 2 („$F=m\cdot g$")
$F_W=6\pi \eta rv$	Stokes-Reibung	✅ S. 2 („Stokes")
$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$	Dichte	✅ S. 2 („$\rho =\frac{m}{V}$")
$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$	Kugelvolumen	❌ Mathematik, nicht im Formelnheft — selbst hinschreiben
$E={\displaystyle \frac{U}{d}}$	Feldstärke im homogenen Feld	❌ nicht im Formelnheft — in zwei Zeilen herleiten: $W=F\cdot d$ (S. 2) und $W=U\cdot Q$ (S. 4) → $Fd=UQ$ → $E=\frac{F}{Q}=\frac{U}{d}$
$e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C	Elementarladung	✅ S. 1 (Konstanten)

Herleitung (Schritt für Schritt)

Phase ① — Schweben (Schwebephase)

1. Schwebebedingung ansetzen (Spannung so einstellen, dass das Tröpfchen ruht: Gesamtkraft null, die elektrische Kraft nach oben gleicht genau die Gewichtskraft nach unten aus — das ist die Definition des Schwebens):$$F_E=F_G$$
2. Beide Kräfte einsetzen (links $F=E\cdot Q$ von S. 4, rechts $F=m\cdot g$ von S. 2):$$Q\cdot E=m\cdot g$$
3. Plattenkondensator-Feldstärke $E=U/d$ einsetzen und nach $Q$ auflösen (Zweizeilen-Herleitung von $E=U/d$ siehe Tabelle; beide Seiten durch $E$ teilen):$$Q=\frac{mg}{E}=\frac{mgd}{U}$$Hier lässt sich $Q$ noch nicht berechnen: $U,d,g$ sind bekannt, aber die Masse $m$ des winzigen Tröpfchens kann man nicht direkt wiegen — genau dafür braucht es Phase ②.

Phase ② — Feld aus, gleichförmiges Sinken (Sinkphase)

4. Kräftegleichgewicht beim gleichförmigen Sinken ansetzen (ohne Feld bleibt nur die Gewichtskraft, das Tröpfchen beschleunigt; die Stokes-Reibung $F_W=6\pi \eta rv$ wächst mit $v$, bis sie die Gewichtskraft genau ausgleicht — danach konstante Geschwindigkeit. Im gleichförmigen Abschnitt: Reibung = Gewicht):$$6\pi \eta rv=mg$$Eine Gleichung, zwei Unbekannte ($m$ und $r$) → eine zweite Beziehung ist nötig.
5. $m$ über die Dichte als Funktion von $r$ ausdrücken ($\rho =m/V$ von S. 2 nach $m$ auflösen, Kugelvolumen $V=\frac{4}{3}\pi r^3$; die Öldichte $\rho$ ist bekannt):$$m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$
6. In Schritt 4 einsetzen, $m$ eliminieren (jetzt ist $r$ die einzige Unbekannte):$$6\pi \eta rv=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\cdot g$$
7. Beide Seiten durch $\pi$ und durch $r$ teilen ($r\ne 0$, also erlaubt; rechts wird aus $r^3$ ein $r^2$):$$6\eta v=\frac{4}{3}\rho g{r}^2$$
8. Nach $r^2$ auflösen (durch $\frac{4}{3}\rho g$ teilen; Division durch einen Bruch = Multiplikation mit dem Kehrwert: $\frac{6}{4/3}=6\cdot \frac{3}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$):$$r^2=\frac{6\eta v}{\frac{4}{3}\rho g}=\frac{9\eta v}{2\rho g}$$
9. Wurzel ziehen (positive Wurzel — ein Radius ist positiv):$$\boxed{{\displaystyle r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2\rho g}}}}$$Rechts stehen nur messbare/bekannte Größen ($\eta ,v,\rho ,g$) → $r$ ist bestimmt; zurück in Schritt 5 liefert das die Masse $m$.

Phase ③ — Rückeinsetzen und Auswertung

10. Das $m$ aus Phase ② in Schritt 3 einsetzen (jetzt ist jede Größe bekannt; die Ladung jedes einzelnen Tröpfchens ist berechenbar):$$\boxed{{\displaystyle Q=\frac{mgd}{U}}}\text{mit}m=\rho \frac{4}{3}\pi r^3,r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2\rho g}}$$
11. Für viele Tröpfchen wiederholen und auftragen (die entscheidende Beobachtung: die $Q$-Werte füllen die Zahlenachse nicht gleichmäßig, sondern liegen nur auf äquidistanten „Stufen" mit Lücken dazwischen):$$Q=n\cdot e,n=1,2,3,\dots$$
12. Stufenabstand ablesen = Elementarladung (wäre Ladung beliebig teilbar, müssten die Messwerte kontinuierlich verteilt sein; diskrete Stufen lassen sich nur durch eine kleinste, unteilbare Ladungsportion erklären):$$\boxed{{\displaystyle e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{C}}}(\text{Formelnheft S. 1; im Skript gerundet }1,6\cdot {10}^{-19})$$Fazit: Die Ladung ist gequantelt — jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches von $e$.

Größenordnungs-Beispiel (unabhängig nachgerechnet, kein Pflichtstoff)

Typische Werte: ${\eta }_{\text{Luft}}=1,82\cdot {10}^{-5}$ Pa·s, $v=1,0\cdot {10}^{-4}$ m/s, ${\rho }_{\text{Öl}}=900$ kg/m³, $g=\mathrm{9,807}$ m/s²:

• $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{9\cdot 1,82\cdot {10}^{-5}\cdot {10}^{-4}}{2\cdot 900\cdot \mathrm{9,807}}}}=\sqrt{9,28\cdot {10}^{-13}}\approx 9,6\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 1\mu \text{m}$ (im Mikroskop sichtbar ✓)
• $m=900\cdot \frac{4}{3}\pi (9,6\cdot {10}^{-7}{)}^3\approx 3,4\cdot {10}^{-15}$ kg
• Mit $Q=2e$ und $d=6$ mm: Schwebespannung $U={\displaystyle \frac{mgd}{Q}}={\displaystyle \frac{3,4\cdot {10}^{-15}\cdot \mathrm{9,807}\cdot \mathrm{0,006}}{\mathrm{3,204}\cdot {10}^{-19}}}\approx 6\cdot {10}^2$ V — einige hundert Volt, experimentell völlig plausibel ✓

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$Q$	Ladung des Öltröpfchens	C
$e$	Elementarladung $=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C (Formelnheft S. 1)	C
$n$	ganze Zahl (Anzahl der Ladungsportionen)	—
$E$	elektrische Feldstärke zwischen den Platten	V/m = N/C
$U$	Spannung zwischen den Platten	V
$d$	Plattenabstand	m
$m$	Masse des Öltröpfchens	kg
$g$	Gravitationsfeldstärke $=\mathrm{9,807}$ m/s² (Formelnheft S. 1)	m/s²
$\eta$	Viskosität der Luft (Zähigkeit)	Pa·s
$r$	Radius des Öltröpfchens	m
$v$	gleichförmige Sinkgeschwindigkeit (Messwert)	m/s
$\rho$	Dichte des Öls (bekannte Materialkonstante)	kg/m³
$V$	Volumen des Öltröpfchens	m³
$F_E,F_G,F_W$	elektrische Kraft / Gewichtskraft / Stokes-Reibung	N

Verknüpfungen

• H12 — das hier gemessene $e$ ist die Brücke der eV↔J-Umrechnung ($1\text{eV}=e\cdot 1\text{V}$).
• Thema 4 §4.3 — Skript-Fassung: Aufbau, „warum Öl statt Wasser", „warum nicht im Vakuum", drei Phasen Schritt für Schritt.
• Thema 14 §14.2 — die Ladungsquantelung im Kontext der Elektrizitätslehre ($Q=n\cdot e$ und Ladungserhaltung).