Zielformeln:

$$a_Z=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r,F_Z=\frac{m{v}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$

Gültigkeitsbereich/Annahmen: gleichförmige Kreisbewegung (Bahngeschwindigkeit $v=\text{konst.}$, Radius $r=\text{konst.}$); nur die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich, nicht ihr Betrag; die geometrische Herleitung wird im Grenzwert $\mathrm{\Delta }t\to 0$ exakt.

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$\overline{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsbeschleunigung (Beschleunigung = Änderungsrate des Geschwindigkeitsvektors)	✅ S. 2 („Durchschnittsbeschleunigung")
$F=m\cdot a$	Newton'sches Axiom (Aktionsprinzip)	✅ S. 2 („Newton'sches Axiom")
$v=\omega \cdot r$	Bahngeschwindigkeit (im Heft vektoriell $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$)	✅ S. 2 („Bahngeschwindigkeit")
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$a_Z={\omega }^{2}r={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$	Zentripetalbeschleunigung — Zielformel selbst im Heft	✅ S. 2 („Zentripetalbeschleunigung")
$F_Z=m{\omega }^{2}r={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$	Zentripetalkraft — Zielformel selbst im Heft	✅ S. 2 („Zentripetalkraft")
$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=Fs\cos \alpha$	Arbeit — für das Argument „verrichtet keine Arbeit"	✅ S. 2 („Arbeit")
Ähnliche-Dreiecke-Argument ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{r}}$	Kern der geometrischen Herleitung	❌ nicht im Formelnheft — bei der Prüfung mit Skizze selbst herleiten

Herleitung (Schritt für Schritt)

A) Warum die Kreisbewegung eine Beschleunigung hat (Klärung der Voraussetzung)

1. Geschwindigkeit ist ein Vektor: Betrag (Tempo) und Richtung.
2. Auf der Kreisbahn ändert $\overrightarrow{v}$ ständig die Richtung (immer tangential), auch wenn der Betrag konstant bleibt.
3. Beschleunigung ist definiert als Änderungsrate des Geschwindigkeitsvektors ($\overline{a}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}/\mathrm{\Delta }t$) — schon eine Richtungsänderung ist Beschleunigung. Die gleichförmige Kreisbewegung ist also eine beschleunigte Bewegung und braucht eine Kraft.

B) Geometrische Herleitung $a_Z={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$ (ähnliche Dreiecke)

1. Zwei benachbarte Zeitpunkte wählen. Der Körper passiert im kleinen Zeitabstand $\mathrm{\Delta }t$ zwei Punkte $P_1$, $P_2$ der Kreisbahn. Der zurückgelegte Bogen ist $v\cdot \mathrm{\Delta }t$; die Sehne zwischen den Punkten heiße $\mathrm{\Delta }s$. Näherung: Für kleines $\mathrm{\Delta }t$ gilt Sehne ≈ Bogen, also $\mathrm{\Delta }s\approx v\mathrm{\Delta }t$ (diese Näherung wird beim abschließenden Grenzübergang exakt).
2. Zwei Dreiecke zeichnen.
   • Ortsdreieck: aus zwei Radien $r$ (zu $P_1$, $P_2$) und der Sehne $\mathrm{\Delta }s$ — gleichschenklig, Spitzenwinkel $\mathrm{\Delta }\phi$.
   • Geschwindigkeitsdreieck: ${\overrightarrow{v}}_1$, ${\overrightarrow{v}}_2$ an denselben Anfangspunkt verschieben, die Spitzen verbinden: $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ — ebenfalls gleichschenklig (beide Schenkel haben Länge $|\overrightarrow{v}|=v$, der Betrag ist konstant). Da die Geschwindigkeit stets senkrecht auf dem Radius steht (tangential), dreht sich $\overrightarrow{v}$ um denselben Winkel wie der Radius: Spitzenwinkel ebenfalls $\mathrm{\Delta }\phi$.
3. Ähnlichkeit ausnutzen. Zwei gleichschenklige Dreiecke mit gleichem Spitzenwinkel sind ähnlich ⇒ entsprechende Seiten stehen im gleichen Verhältnis (Basis zu Schenkel):$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$
4. Nach $\mathrm{\Delta }v$ auflösen (beide Seiten mal $v$) und $\mathrm{\Delta }s\approx v\mathrm{\Delta }t$ einsetzen:$$\mathrm{\Delta }v=\frac{v}{r}\mathrm{\Delta }s\approx \frac{v}{r}\cdot v\mathrm{\Delta }t=\frac{v^2}{r}\mathrm{\Delta }t$$
5. Zurück zur Definition der Beschleunigung (S. 2) und Grenzwert nehmen. $a={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}\approx {\displaystyle \frac{v^2}{r}}$. Hier wird der Grenzwert $\mathrm{\Delta }t\to 0$ genommen, weil: ① Sehne → Bogen macht die Näherung aus Schritt 1 exakt; ② die Richtung von $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ strebt gegen senkrecht zu $\overrightarrow{v}$, zum Kreismittelpunkt hin (im gleichschenkligen Dreieck steht die Basis für Spitzenwinkel $\to 0$ senkrecht auf den Schenkeln). Also$$\boxed{{\displaystyle a_Z=\frac{v^2}{r}}}\text{(Richtung: zum Mittelpunkt — daher „zentripetal")}$$

C) ω-Methode (beide Schreibweisen des Formelnhefts ineinander überführen)

1. Zusammenhang Winkel- und Bahngeschwindigkeit (S. 2): Beim Drehwinkel $\mathrm{\Delta }\phi$ wird der Bogen $\mathrm{\Delta }s=r\mathrm{\Delta }\phi$ zurückgelegt (Definition der Bogenlänge im Bogenmaß); beide Seiten durch $\mathrm{\Delta }t$:$$v=\omega \cdot r$$
2. In das Ergebnis von B einsetzen ($v=\omega r$ in $a_Z=v^2/r$):$$a_Z=\frac{(\omega r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2{r}^2}{r}={\omega }^{2}r$$(Ein $r$ kürzen — reine Algebra.) Umgekehrt genauso: $\omega =v/r$ in $a_Z={\omega }^{2}r$ liefert sofort $v^2/r$. Beide Schreibweisen sind äquivalent:$$\boxed{{\displaystyle a_Z={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}}}$$

D) Zentripetalkraft $F_Z={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

1. Newton'sches Axiom (S. 2): Beschleunigung erfordert eine Kraft, $F=m\cdot a$.
2. $a=a_Z$ einsetzen:$$\boxed{{\displaystyle F_Z=m\cdot \frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r}}\text{(Richtung: wie }{a}_Z\text{, zum Mittelpunkt)}$$
3. Begriffliche Erinnerung: Die Zentripetalkraft ist keine eigenständige Naturkraft, sondern eine Rolle, die von vorhandenen Kräften übernommen wird — Satellit: Gravitation; Hammerwerfer: Seilkraft; Elektron im Atom: Coulomb-Kraft. (Die Zentrifugalkraft ist dagegen eine Scheinkraft im rotierenden Bezugssystem.)

E) Die Zentripetalkraft verrichtet keine Arbeit ($\overrightarrow{F}\perp \overrightarrow{v}$)

1. Definition der Arbeit (S. 2): $W=F\cdot s\cdot \cos \alpha$, $\alpha$ = Winkel zwischen Kraft und Weg.
2. Geometrische Tatsache: Die Zentripetalkraft zeigt zum Mittelpunkt, der momentane Weg ist tangential ⇒ $\alpha =90°$, $\cos 90°=0$.
3. Folgerung:$$W=F_Z\cdot s\cdot \cos 90°=0$$Die Zentripetalkraft ändert also nur die Richtung der Geschwindigkeit, nicht ihren Betrag — konsistent mit „gleichförmige Kreisbewegung": keine Arbeit ⇒ kinetische Energie konstant ⇒ $v$ konstant.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$a_Z$	Zentripetalbeschleunigung (zum Mittelpunkt)	m/s²
$F_Z$	Zentripetalkraft (zum Mittelpunkt)	N
$m$	Masse des umlaufenden Körpers	kg
$v$	Bahngeschwindigkeit (tangential, Betrag konstant)	m/s
$r$	Bahnradius	m
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit ($360°=2\pi$ rad)	rad/s
$\mathrm{\Delta }\phi$	überstrichener Winkel im kleinen Zeitintervall	rad
$\mathrm{\Delta }s$	Sehne zwischen $P_1$ und $P_2$ (im Grenzwert = Bogen)	m
$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, $\mathrm{\Delta }v$	Geschwindigkeitsdifferenzvektor und sein Betrag	m/s
$\mathrm{\Delta }t$	kleines Zeitintervall (Grenzwert $\to 0$)	s
$f$	Frequenz (tritt in $\omega =2\pi f$ auf)	Hz
$W$	Arbeit (hier $=0$)	J
$\alpha$	Winkel zwischen Kraft und Weg (hier $90°$)	° (bzw. rad)

Verknüpfungen

• Die Zentripetalkraft wird von der Gravitation übernommen ⇒ Satellitenbahnen → H05
• „$\overrightarrow{F}\perp \overrightarrow{v}$ verrichtet keine Arbeit" beruht auf der Definition der Arbeit → H02
• Skript: Thema 8 §8.7 (Begriff, $F_Z=m{v}^2/r$, Scheinkraft-Diskussion), Thema 2 §2.1 (dieselbe Vorbereitung), Thema 5 §5.1 (Beschleunigung = Änderung des Geschwindigkeitsvektors)