Zielformeln:

$$v=a\cdot t,s=\frac{1}{2}a{t}^2,v=gt,s=\frac{1}{2}g{t}^2,S_v=v\cdot t_R,S_B=\frac{v^2}{2a_B}$$

Gültigkeitsbereich/Annahmen: konstante Beschleunigung ($a=\text{konst.}$, nach Betrag und Richtung); Start aus der Ruhe ($v_0=0$) am Ursprung ($s_0=0$); für den freien Fall zusätzlich Luftwiderstand vernachlässigt und $g$ nahe der Erdoberfläche als konstant betrachtet; beim Bremsen $a_B=\text{konst.}$

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$\overline{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsbeschleunigung	✅ S. 2 („Durchschnittsbeschleunigung")
$\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsgeschwindigkeit	✅ S. 2 („Durchschnittsgeschwindigkeit")
$F=m\cdot a$	Newton'sches Axiom (Aktionsprinzip)	✅ S. 2 („Newton'sches Axiom")
$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$	Arbeit — für die Energie-Herleitung	✅ S. 2 („Arbeit")
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie — für die Energie-Herleitung	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$v=at$, $s=\frac{1}{2}a{t}^2$	Bewegungsgleichungen (gleichm. beschleunigt)	❌ nicht im Formelnheft — bei der Prüfung selbst aus $\overline{a}=\mathrm{\Delta }v/\mathrm{\Delta }t$ herleiten (siehe unten)
$S_v=v\cdot t_R$, $S_B={\displaystyle \frac{v^2}{2a_B}}$	Vorbremsstrecke / Bremsstrecke	❌ nicht im Formelnheft — bei der Prüfung selbst herleiten

Herleitung (Schritt für Schritt)

A) $v=at$ (aus der Definition der Durchschnittsbeschleunigung)

1. Voraussetzungen festhalten. Sei $a=\text{konst.}$ und $v_0=0$ bei $t=0$. (Annahmen zuerst: ohne sie gilt die folgende Vereinfachung nicht.)
2. Definition anschreiben. Durchschnittsbeschleunigung (Formelnheft S. 2):$$\overline{a}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$
3. Konstanz von $a$ ausnutzen. Bei konstanter Beschleunigung hat der Differenzenquotient in jedem Zeitintervall denselben Wert, also $\overline{a}=a$. (Das ist genau die Bedeutung von „gleichmäßig beschleunigt".)
4. Intervall einsetzen. Von $0$ bis $t$: $\mathrm{\Delta }v=v-0=v$, $\mathrm{\Delta }t=t-0=t$, also$$a=\frac{v}{t}$$
5. Beide Seiten mit $t$ multiplizieren (algebraisches Umformen, erlaubt wegen $t>0$):$$\boxed{{\displaystyle v=a\cdot t}}$$Im $v$-$t$-Diagramm ist das eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung $a$.

B) $s=\frac{1}{2}a{t}^2$ (Methode der Durchschnittsgeschwindigkeit / Fläche im v-t-Diagramm)

1. Problem benennen. Hier ist $v$ nicht konstant — $s=v\cdot t$ ist daher unzulässig; man muss mit der Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ arbeiten.
2. Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen. Nach A) wächst $v$ linear von $0$ auf den Endwert $v=at$. Der Mittelwert einer linear veränderlichen Größe ist das arithmetische Mittel von Anfangs- und Endwert (Symmetrie der Geraden um die Intervallmitte):$$\overline{v}=\frac{0+v}{2}=\frac{v}{2}=\frac{at}{2}$$
3. Wegformel mit $\overline{v}$ anwenden. Aus $\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$ (Formelnheft S. 2) mit $\mathrm{\Delta }s=s-0=s$, $\mathrm{\Delta }t=t$ folgt $s=\overline{v}\cdot t$. Einsetzen von Schritt 2:$$s=\frac{at}{2}\cdot t$$
4. Zusammenfassen (Potenzen von $t$ kombinieren):$$\boxed{{\displaystyle s=\frac{1}{2}a{t}^2}}$$
5. Geometrische Kontrolle (Fläche im v-t-Diagramm). Weg = Fläche unter der $v$-$t$-Kurve, hier ein Dreieck der Breite $t$ und Höhe $v=at$:$$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot t\cdot at=\frac{1}{2}a{t}^2✓$$(Mit Integralrechnung: $s={\int }_0^{t}a{t}^{\prime }\mathrm{d}{t}^{\prime }=\frac{1}{2}a{t}^2$ — dasselbe Ergebnis.)

C) Spezialfall: Freier Fall

1. Bedingungen des Spezialfalls. Ohne Luftwiderstand fallen nahe der Erdoberfläche alle Körper mit derselben konstanten Beschleunigung $g$ (Fallbeschleunigung, Formelnheft S. 1: $g=\mathrm{9,807}$ m/s²). Das ist genau der Fall „$a=\text{konst.}$".
2. Ersetzung $a\to g$ (alle Voraussetzungen von A und B erfüllt, Ergebnisse übernehmen):$$v=g\cdot t,s=\frac{1}{2}g{t}^2$$
3. Rechenbeispiel (unabhängig nachgerechnet): Stein fällt $t=2,5$ s: $s=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 2,5^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 6,25\approx 30,7$ m, $v=9,81\cdot 2,5\approx 24,5$ m/s. ✓ (stimmt mit Thema 5 überein)

D) Vorbremsstrecke $S_v=v\cdot t_R$

1. Physikalische Situation. Während der Reaktionszeit $t_R$ („Schrecksekunde", ca. 1 s) wird noch nicht gebremst — das Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit $v$ weiter: gleichförmig geradlinige Bewegung ($a=0$).
2. Bei konstantem $v$ ist der Differenzenquotient konstant. $v$ konstant ⇒ $\overline{v}=v$; Umformen von $\overline{v}=\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$:$$\boxed{{\displaystyle S_v=v\cdot t_R}}$$$S_v$ wächst linear mit $v$.

E) Bremsstrecke $S_B={\displaystyle \frac{v^2}{2a_B}}$ — zwei Herleitungen

Herleitung 1 (kinematisch). Bremsen ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in Gegenrichtung: $a_B=\text{konst.}$, $v$ nimmt linear von $v$ auf $0$ ab.

1. Bremszeit bestimmen. Endgeschwindigkeit null: $0=v-a_{B}t$. Umstellen und durch $a_B$ dividieren (erlaubt wegen $a_B\ne 0$):$$t=\frac{v}{a_B}$$
2. Durchschnittsgeschwindigkeit. $v$ nimmt linear von $v$ auf $0$ ab ⇒ Mittelwert = Mittel aus Anfangs- und Endwert (gleiche Begründung wie B, Schritt 2):$$\overline{v}=\frac{v+0}{2}=\frac{v}{2}$$
3. In die Wegformel $S_B=\overline{v}\cdot t$ einsetzen:$$S_B=\frac{v}{2}\cdot \frac{v}{a_B}$$
4. Zusammenfassen:$$\boxed{{\displaystyle S_B=\frac{v^2}{2a_B}}}$$(Äquivalente Kontrolle: $s=\frac{1}{2}{a}_B{t}^2$ mit $t=v/a_B$: $S_B=\frac{1}{2}{a}_B\cdot {\displaystyle \frac{v^2}{a_B^2}}={\displaystyle \frac{v^2}{2a_B}}$ ✓)

Herleitung 2 (Energie). Dieselbe Formel über den Arbeit-Energie-Zusammenhang — die $v^2$-Abhängigkeit wird sofort sichtbar.

1. Kinetische Energie vor dem Bremsen (Formelnheft S. 2): $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$.
2. Bremsarbeit. Bremskraft $F_B=m\cdot a_B$ (Newton'sches Axiom, S. 2); sie verrichtet längs $S_B$ die Arbeit (Kraft antiparallel zum Weg, hier nur Beträge): $W=F_B\cdot S_B=m{a}_B{S}_B$ (Arbeit, S. 2).
3. Energiebilanz. Stillstand heißt: Die gesamte kinetische Energie wird durch die Bremsarbeit „vernichtet" (in Wärme umgewandelt):$$m{a}_B{S}_B=\frac{1}{2}m{v}^2$$
4. Masse $m$ kürzen (beide Seiten durch $m$ dividieren, erlaubt wegen $m>0$) — die Bremsstrecke ist massenunabhängig:$$a_B{S}_B=\frac{1}{2}{v}^2$$
5. Nach $S_B$ auflösen (durch $a_B$ dividieren):$$\boxed{{\displaystyle S_B=\frac{v^2}{2a_B}}}$$Beide Wege liefern dasselbe. $S_B\propto v^2$: doppelte Geschwindigkeit → vierfache Bremsstrecke ($(2v{)}^2=4v^2$).

Rechenbeispiel (unabhängig nachgerechnet, $a_B=7$ m/s², $t_R=1$ s): $v=130$ km/h $=130/3,6\approx 36,1$ m/s:

$$S_v=36,1\cdot 1\approx 36\text{m},S_B=\frac{36,1^2}{2\cdot 7}=\frac{1303}{14}\approx 93\text{m},S_{\text{Anhalte}}\approx 129\text{m}✓$$

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$a$, $\overline{a}$	(Durchschnitts-)Beschleunigung	m/s²
$v$	Geschwindigkeit (beim Bremsen: Geschwindigkeit zu Bremsbeginn)	m/s
$v_0$	Anfangsgeschwindigkeit (hier $=0$)	m/s
$\overline{v}$	Durchschnittsgeschwindigkeit	m/s
$s$	Weg	m
$t$	Zeit	s
$\mathrm{\Delta }v$, $\mathrm{\Delta }t$, $\mathrm{\Delta }s$	Änderungen von Geschwindigkeit/Zeit/Weg	m/s · s · m
$g$	Fallbeschleunigung $=\mathrm{9,807}$ m/s² (Formelnheft S. 1; im Skript meist $9,81$)	m/s²
$S_v$	Vorbremsstrecke (Reaktionsweg)	m
$t_R$	Reaktionszeit (ca. 1 s)	s
$S_B$	Bremsstrecke	m
$a_B$	Bremsbeschleunigung (trockene Fahrbahn ca. 7–8 m/s²)	m/s²
$m$	Masse des Autos (tritt in der Energie-Herleitung auf, kürzt sich)	kg
$F_B$	Bremskraft	N
$E_{\text{kin}}$	Kinetische Energie	J
$W$	Arbeit	J

Verknüpfungen

• Herkunft von $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$ (für die Energie-Herleitung) → H02
• Dasselbe „Masse kürzt sich"-Muster ($v=\sqrt{2gh}$) → H03
• Skript: Thema 5 §5.2 ($v=at$, $s=\frac{1}{2}a{t}^2$, freier Fall), Thema 5 §5.3 ($S_v$, $S_B$ doppelt hergeleitet), Thema 8 §8.5 (Arbeit & kinetische Energie)