5.2 Die drei wichtigsten Bewegungsformen

Quelle: Themenpool §5 · Mitschrift §4.3.3

✎ Prüfungs-Intel: „Erkläre die drei Grundformen der Bewegung" stand als erste Aufgabe auf einem echten Klassische-Mechanik-Zettel (Thema 8) — dieser Abschnitt ist themenübergreifend prüfungsrelevant (siehe Thema 8 §8.3).

1) Gleichförmig geradlinige Bewegung

Keine Beschleunigung — weder Betrag noch Richtung von $v$ ändern sich. Beschrieben durch das 1. Newton'sche Axiom.

$$\overrightarrow{v}=\text{konstant},\overrightarrow{a}=0,v=\frac{s}{t}$$

Woher kommt $v=s/t$? Wenn $v$ konstant ist, ist Durchschnitts- = Momentangeschwindigkeit; der Differenzenquotient $\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$ ändert sich nie. Startet man bei $s=0$ und $t=0$, wird aus $v={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$ einfach $v={\displaystyle \frac{s}{t}}$, umgestellt $s=v\cdot t$. $s\dots$ Weg; $v\dots$ (konstante) Geschwindigkeit; $t\dots$ verstrichene Zeit.

Im $s$-$t$-Diagramm eine ansteigende Gerade (Steigung $=v$, weil $s=vt$ eine Geradengleichung mit Steigung $v$ ist), im $v$-$t$-Diagramm eine waagrechte Linie (weil $v$ konstant ist). ✎ Der Weg ist im $v$-$t$-Diagramm die Fläche unter der Linie: $s=v\cdot t=$ Rechteck aus Höhe $v$ und Breite $t$.

Abbildung: $s$-$t$-Diagramm — zwei Geraden durch den Ursprung mit Steigungen $v_1$, $v_2$ (Steigung = Geschwindigkeit).

Abbildung: $v$-$t$-Diagramm — zwei waagrechte Linien mit $v_1>v_2$ (konstante Geschwindigkeiten).

Abbildung: $a$-$t$-Diagramm — die Beschleunigung ist null.

2) Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

$a$ ist konstant (Betrag und Richtung). Aus der Ruhe heraus ($v_0=0$, Start bei $s=0$):

$$v=a\cdot t,s=\frac{1}{2}a\cdot t^2$$

Woher kommt $v=a\cdot t$? Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit: $a={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$. Ist $a$ konstant und startet man bei $v_0=0$, dann ist $\mathrm{\Delta }v=v$ und $\mathrm{\Delta }t=t$, also $a={\displaystyle \frac{v}{t}}$ — umgestellt $\boxed{{\displaystyle v=a\cdot t}}$. Im $v$-$t$-Diagramm ist das eine ansteigende Gerade durch den Ursprung (Steigung $=a$).

Woher kommt $s=\frac{1}{2}a{t}^2$? Hier ist $v$ nicht konstant, also darf man nicht einfach $s=v\cdot t$ nehmen. Trick über die Durchschnittsgeschwindigkeit:

1. Bei konstantem $a$ wächst $v$ linear von $0$ auf den Endwert $v=at$. Der Mittelwert einer Geraden ist der Mittelwert von Anfangs- und Endwert: $\overline{v}={\displaystyle \frac{0+v}{2}}={\displaystyle \frac{v}{2}}={\displaystyle \frac{at}{2}}$.
2. Mit der mittleren Geschwindigkeit darf man wieder $s=\overline{v}\cdot t$ rechnen: $s={\displaystyle \frac{at}{2}}\cdot t$.
3. Zusammenfassen: $\boxed{{\displaystyle s=\frac{1}{2}a{t}^2}}$.

✎ Geometrisch dasselbe: Der Weg ist die Fläche unter der $v$-$t$-Geraden — ein Dreieck mit Breite $t$ und Höhe $v=at$, also $A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot t\cdot at=\frac{1}{2}a{t}^2$. (Wer Integrale kennt: $s={\int }_0^{t}vd{t}^{\prime }={\int }_0^{t}a{t}^{\prime }d{t}^{\prime }=\frac{1}{2}a{t}^2$ — dasselbe Ergebnis.)

Mit Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ (allgemeiner Fall): $v=v_0+at$ und $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$.

Spezialfall freier Fall (Ursache: Gravitation). ✎ Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell (siehe Galileis Widerspruchsbeweis); die konstante Beschleunigung heißt Erdbeschleunigung $g$, an der Erdoberfläche $g\approx 9,81$ m/s². Man setzt also einfach $a\to g$:

$$v=g\cdot t,s=\frac{1}{2}g\cdot t^2$$

Rechenbeispiel: Ein Stein fällt $t=2,5$ s von einer Klippe (Luftwiderstand vernachlässigt):

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 2,5^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 6,25\approx 30,7\text{m},v=gt=9,81\cdot 2,5\approx 24,5\text{m/s}$$

✎ Vakuum-/Mond-Test: 1971 ließ Apollo-15-Astronaut D. Scott auf dem Mond Hammer und Feder gleichzeitig los — beide landeten gleichzeitig: Der Mond hat keine Atmosphäre, also keinen Luftwiderstand, und alle Körper fallen mit demselben $g_{\text{Mond}}\approx 1,62$ m/s² (rund 1/6 des Erdwerts) — alles fällt langsamer, aber untereinander gleich schnell. Das ist die direkte Demonstration von Galileis Behauptung. Außerdem laut Mappe: $g\approx 9,81$ m/s² nimmt von der Erdoberfläche bis in ca. 40 km Höhe nur um etwa 1 % ab — für alle „Alltagsfälle" praktisch konstant.

3) Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

$a$ ändert sich mit der Zeit. Wichtigstes Beispiel: Fall mit Luftwiderstand.

Warum entsteht eine Endgeschwindigkeit? Auf den fallenden Körper wirken zwei Kräfte: die nach unten ziehende Gewichtskraft $F_G=mg$ (konstant) und die nach oben bremsende Reibung $F_R$ (wächst mit $v$). Nach dem 2. Newton'schen Axiom gilt $ma=F_G-F_R$:

1. Start ($v=0$): noch keine Reibung, $F_R=0$ → $a=g$ (voller freier Fall).
2. Während des Falls: $v$ steigt → $F_R$ steigt → die Netto-Kraft $F_G-F_R$ schrumpft → $a$ nimmt ab.
3. Grenzfall: Wenn $F_R$ genauso groß wie $F_G$ geworden ist, ist die Netto-Kraft null → $a=0$ → $v$ ändert sich nicht mehr. Diese konstante Geschwindigkeit ist die Endgeschwindigkeit $v_{\text{end}}$.

Es gibt zwei Reibungsgesetze — je nachdem, wie die Luft um den Körper strömt:

Newton-Reibung $F_R\propto v^2$ (große Geschwindigkeiten, turbulente Strömung (verwirbelte, ungeordnete Luftströmung mit Wirbeln — das Gegenteil von laminar), große Körper). ✎ Warum $v^2$? Der Körper muss pro Sekunde eine Luftmasse zur Seite stoßen. (a) Je schneller er ist, desto mehr Luft trifft er pro Sekunde — diese Menge ist $\propto v$. (b) Jedes Luftteilchen wird auch noch heftiger weggestoßen, je schneller der Körper ist — der übertragene Impuls pro Teilchen ist ebenfalls $\propto v$. Beide Effekte multiplizieren sich: $F_R\propto v\cdot v=v^2$. ✎ Vollständige Formel (Strömungslehre): $F_R=\frac{1}{2}{c}_w\rho A{v}^2$. $c_w\dots$ Widerstandsbeiwert (von der Form bestimmt); $\rho \dots$ Dichte des Mediums; $A\dots$ angeströmte Querschnittsfläche.

Stokes-Reibung $F_R\propto v$ (kleine Geschwindigkeiten, laminare Strömung, kleine Körper) — sie wird beim Millikan-Experiment gebraucht. ✎ Warum nur $\propto v$? Bei kleinen, langsamen Körpern wird die Luft nicht weggestoßen, sondern gleitet in geordneten Schichten (laminar) am Körper vorbei; gebremst wird er nur durch die innere Reibung (Zähigkeit) der Flüssigkeit, und die ist proportional zum Geschwindigkeitsgefälle — also nur einfach proportional zu $v$. Für eine Kugel lautet das Stokes-Gesetz $F_R=6\pi \eta rv$. $\eta \dots$ Viskosität (Zähigkeit) des Mediums; $r\dots$ Kugelradius; $v\dots$ Geschwindigkeit.

✎ Größenordnungen der Endgeschwindigkeit (beliebte Nachfrage): Fallschirmspringer (Bauchlage) ca. 55 m/s ≈ 200 km/h; nach dem Öffnen des Schirms wachsen Querschnittsfläche $A$ und damit die Reibung sprunghaft → neue, viel niedrigere Endgeschwindigkeit von ca. 5 m/s (sichere Landung). Ein Regentropfen erreicht nur ca. 7–9 m/s — ohne Luftwiderstand käme er aus 2 km Wolkenhöhe mit $v=\sqrt{2gh}\approx 198$ m/s (rund 700 km/h) an, Regen wäre tödlich; erst die Endgeschwindigkeit macht ihn harmlos. Mikrometerkleine Wolken-/Nebeltröpfchen fallen dagegen im Stokes-Regime (klein, langsam, laminar) mit Endgeschwindigkeiten von nur Millimetern pro Sekunde — deshalb scheinen Wolken zu „schweben".

✎ Die drei Bewegungsformen im Überblick (Kriterium: Schau auf $a$!)

	Kriterium	Formeln	$v$-$t$-Diagramm	Beispiel
gleichförmig geradlinig	$\overrightarrow{a}=0$	$v=s/t$	waagrechte Linie	Auto mit Tempomat
gleichmäßig beschleunigt	$a=$ konst. $\ne 0$	$v=at$, $s=\frac{1}{2}a{t}^2$	Gerade durch den Ursprung	freier Fall; Bremsen
ungleichmäßig beschleunigt	$a$ zeitabhängig	keine einfache Formel (Schritt für Schritt über $ma=F_G-F_R$)	Kurve, nähert sich $v_{\text{end}}$	Fall mit Luftwiderstand