5.2 三种最重要的运动形式

来源： 考纲 §5 · 课堂笔记 §4.3.3

✎ 考场情报： „Erkläre die drei Grundformen der Bewegung" 曾作为第一题出现在 Klassische-Mechanik（主题 8）的真题卷上——本节内容跨卷必备（见主题 8 §8.3）。

1) 匀速直线运动

没有加速度——$v$ 的大小和方向都不变。由牛顿第一定律描述。

$$\overrightarrow{v}=\text{常量},\overrightarrow{a}=0,v=\frac{s}{t}$$

$v=s/t$ 从何而来？ 当 $v$ 恒定时，平均速度 = 瞬时速度；差商 $\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$ 永远不变。从 $s=0$、$t=0$ 出发，$v={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$ 就直接写成 $v={\displaystyle \frac{s}{t}}$，移项即 $s=v\cdot t$。$s\dots$ 路程；$v\dots$（恒定）速度；$t\dots$ 经过的时间。

$s$-$t$ 图是一条上升直线（斜率 $=v$，因为 $s=vt$ 就是斜率为 $v$ 的直线方程），$v$-$t$ 图是一条水平线（因为 $v$ 恒定）。✎ 在 $v$-$t$ 图里，路程就是线下方的面积：$s=v\cdot t=$ 高为 $v$、宽为 $t$ 的矩形。

图：$s$-$t$ 图——两条过原点的直线，斜率为 $v_1$、$v_2$（斜率 = 速度）。

图：$v$-$t$ 图——两条水平线，$v_1>v_2$（恒定速度）。

图：$a$-$t$ 图——加速度为零。

2) 匀加速运动

$a$ 恒定（大小和方向都不变）。从静止出发（$v_0=0$，从 $s=0$ 起）：

$$v=a\cdot t,s=\frac{1}{2}a\cdot t^2$$

$v=a\cdot t$ 从何而来？ 加速度是单位时间内的速度变化：$a={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$。$a$ 恒定且从 $v_0=0$ 出发，则 $\mathrm{\Delta }v=v$、$\mathrm{\Delta }t=t$，故 $a={\displaystyle \frac{v}{t}}$——移项即 $\boxed{{\displaystyle v=a\cdot t}}$。在 $v$-$t$ 图里这是一条过原点的上升直线（斜率 $=a$）。

$s=\frac{1}{2}a{t}^2$ 从何而来？ 这里 $v$ 不恒定，所以不能直接用 $s=v\cdot t$。要借助平均速度：

1. $a$ 恒定时，$v$ 从 $0$ 线性增到末值 $v=at$。直线的平均值就是首末值的平均：$\overline{v}={\displaystyle \frac{0+v}{2}}={\displaystyle \frac{v}{2}}={\displaystyle \frac{at}{2}}$。
2. 用平均速度就可以重新套 $s=\overline{v}\cdot t$：$s={\displaystyle \frac{at}{2}}\cdot t$。
3. 整理：$\boxed{{\displaystyle s=\frac{1}{2}a{t}^2}}$。

✎ 几何上同理：路程就是 $v$-$t$ 直线下方的面积——一个宽 $t$、高 $v=at$ 的三角形，$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot t\cdot at=\frac{1}{2}a{t}^2$。（学过积分的：$s={\int }_0^{t}vd{t}^{\prime }={\int }_0^{t}a{t}^{\prime }d{t}^{\prime }=\frac{1}{2}a{t}^2$——结果相同。）

带初速度 $v_0$（一般情形）：$v=v_0+at$，$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$。

特例：自由落体（成因：引力）。✎ 真空中所有物体等速下落（见伽利略的矛盾证明）；这个恒定的加速度叫重力加速度 $g$，地表 $g\approx 9,81$ m/s²。于是只需把 $a\to g$：

$$v=g\cdot t,s=\frac{1}{2}g\cdot t^2$$

算例： 一块石头从悬崖落下 $t=2,5$ s（忽略空气阻力）：

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 2,5^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 6,25\approx 30,7\text{m},v=gt=9,81\cdot 2,5\approx 24,5\text{m/s}$$

✎ 真空 / 月球检验： 1971 年 Apollo 15 宇航员 D. Scott 在月球上同时放开锤子和羽毛——两者同时落地：月球没有大气、没有空气阻力，所有物体以相同的 $g_{\text{月}}\approx 1,62$ m/s²（约地球的 1/6）下落——落得更慢，但彼此一样快。这是伽利略论断的直接演示。另据 Mappe：$g\approx 9,81$ m/s² 从地表直到约 40 km 高空只减小约 1 %——对一切「日常」落体都可视为常量。

3) 非匀加速运动

$a$ 随时间变化。 最重要的例子：有空气阻力的下落。

为什么会出现终极速度？ 下落的物体受两个力：向下拉的重力 $F_G=mg$（恒定）和向上的阻力 $F_R$（随 $v$ 增大）。由牛顿第二定律 $ma=F_G-F_R$：

1. 起始（$v=0$）：还没有阻力，$F_R=0$ → $a=g$（完全的自由落体）。
2. 下落过程中：$v$ 增大 → $F_R$ 增大 → 净力 $F_G-F_R$ 变小 → $a$ 减小。
3. 极限情形：当 $F_R$ 增大到与 $F_G$ 一样大时，净力为零 → $a=0$ → $v$ 不再变化。这个恒定速度就是终极速度 $v_{\text{end}}$。

阻力定律有两条——取决于空气如何绕过物体流动：

牛顿阻力 $F_R\propto v^2$（高速、湍流（杂乱无序、带有漩涡的空气流动，与层流相反）、大物体）。 ✎ 为什么是 $v^2$？ 物体每秒必须把一团空气推到一旁。(a) 它越快，每秒撞到的空气就越多——这部分 $\propto v$。(b) 每个空气粒子被推开得也越猛，物体越快越是如此——每个粒子被传递的动量同样 $\propto v$。两个效应相乘：$F_R\propto v\cdot v=v^2$。✎ 完整公式（流体力学）：$F_R=\frac{1}{2}{c}_w\rho A{v}^2$。$c_w\dots$ 阻力系数（由形状决定）；$\rho \dots$ 介质密度；$A\dots$ 迎流横截面积。

Stokes 阻力 $F_R\propto v$（低速、层流、小物体）——密立根实验中要用到。 ✎ 为什么只 $\propto v$？ 小而慢的物体不会把空气推开，空气是分层（层流）地从它身旁滑过；它只被流体的内摩擦（黏性）拖住，而内摩擦正比于速度梯度——所以只一次方正比于 $v$。对球体，Stokes 定律为 $F_R=6\pi \eta rv$。$\eta \dots$ 介质的黏度；$r\dots$ 球半径；$v\dots$ 速度。

✎ 终极速度的量级（口试常被追问）： 跳伞者（俯卧姿势）约 55 m/s ≈ 200 km/h；开伞后迎流面积 $A$、从而阻力骤增 → 建立一个新的、低得多的终极速度约 5 m/s（可安全着陆）。雨滴只有约 7–9 m/s——若没有空气阻力，从 2 km 高的云层落下将以 $v=\sqrt{2gh}\approx 198$ m/s（约 700 km/h）砸到地面，那雨就致命了；正是终极速度使雨滴无害。微米级的云滴/雾滴则属 Stokes 范畴（小、慢、层流），终极速度仅毫米每秒量级——所以云看上去「浮」在空中。

✎ 三种运动形式一览（判据：看 $a$！）

	判据	公式	$v$-$t$ 图	例子
匀速直线	$\overrightarrow{a}=0$	$v=s/t$	水平线	定速巡航的汽车
匀加速	$a=$ 常量 $\ne 0$	$v=at$，$s=\frac{1}{2}a{t}^2$	过原点的直线	自由落体；刹车
非匀加速	$a$ 随时间变化	无简单公式（用 $ma=F_G-F_R$ 逐步分析）	曲线，渐趋 $v_{\text{end}}$	有空气阻力的下落