目标公式：

$$a_Z=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r,F_Z=\frac{m{v}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$

适用范围/假设： 匀速圆周运动（速率 $v=\text{konst.}$，半径 $r=\text{konst.}$）；只有速度的方向改变，大小不变；几何推导在 $\mathrm{\Delta }t\to 0$ 的极限下严格成立。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$\overline{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsbeschleunigung（平均加速度——加速度是速度矢量的变化率）	✅ S. 2 („Durchschnittsbeschleunigung")
$F=m\cdot a$	Newton'sches Axiom (Aktionsprinzip)	✅ S. 2 („Newton'sches Axiom")
$v=\omega \cdot r$	Bahngeschwindigkeit（轨道速度；册中矢量式 $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$）	✅ S. 2 („Bahngeschwindigkeit")
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit（角速度）	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$a_Z={\omega }^{2}r={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$	Zentripetalbeschleunigung——目标公式本身在册	✅ S. 2 („Zentripetalbeschleunigung")
$F_Z=m{\omega }^{2}r={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$	Zentripetalkraft——目标公式本身在册	✅ S. 2 („Zentripetalkraft")
$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=Fs\cos \alpha$	Arbeit（功）——用于「不做功」论证	✅ S. 2 („Arbeit")
相似三角形论证 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{r}}$	几何推导核心	❌ 不在 Formelnheft——考场需现场画图推出

推导（Schritt für Schritt）

A）为什么圆周运动有加速度（前提澄清）

1. 速度是矢量：有大小（速率）和方向。
2. 圆轨道上 $\overrightarrow{v}$ 的方向不断改变（始终沿切向），即便速率不变。
3. 加速度的定义是速度矢量的变化率（$\overline{a}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}/\mathrm{\Delta }t$）——方向的改变就已经是加速度。所以匀速圆周运动是加速运动，需要力来维持。

B）几何推导 $a_Z={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$（相似三角形）

1. 取两个邻近时刻。 物体在相隔小时间 $\mathrm{\Delta }t$ 的时刻经过圆上两点 $P_1$、$P_2$。这段时间走过的弧长为 $v\cdot \mathrm{\Delta }t$；记两点间弦长为 $\mathrm{\Delta }s$。近似说明： $\mathrm{\Delta }t$ 很小时弦 ≈ 弧，即 $\mathrm{\Delta }s\approx v\mathrm{\Delta }t$（此近似在最后取极限时变为严格相等）。
2. 画两个三角形。
   • 位置三角形： 由两条半径 $r$（指向 $P_1$、$P_2$）和弦 $\mathrm{\Delta }s$ 组成——等腰，顶角为 $\mathrm{\Delta }\phi$。
   • 速度三角形： 把 ${\overrightarrow{v}}_1$、${\overrightarrow{v}}_2$ 平移到同一起点，连接矢端得 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$——同样等腰（两腰都是 $|\overrightarrow{v}|=v$，速率不变）。因为速度始终垂直于半径（切向），$\overrightarrow{v}$ 转过的角度与半径转过的角度相同，顶角同为 $\mathrm{\Delta }\phi$。
3. 用相似性。 两个等腰三角形顶角相等 ⇒ 相似 ⇒ 对应边成比例（底边比腰）：$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$
4. 解出 $\mathrm{\Delta }v$（两边乘 $v$）并代入 $\mathrm{\Delta }s\approx v\mathrm{\Delta }t$：$$\mathrm{\Delta }v=\frac{v}{r}\mathrm{\Delta }s\approx \frac{v}{r}\cdot v\mathrm{\Delta }t=\frac{v^2}{r}\mathrm{\Delta }t$$
5. 回到加速度定义（S. 2）并取极限。$a={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}\approx {\displaystyle \frac{v^2}{r}}$。此处取极限 $\mathrm{\Delta }t\to 0$，因为：① 弦→弧使第 1 步的近似变为相等；② $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ 的方向趋于垂直于 $\overrightarrow{v}$、指向圆心（等腰三角形顶角 $\to 0$ 时底边与腰垂直）。于是$$\boxed{{\displaystyle a_Z=\frac{v^2}{r}}}\text{（方向：指向圆心，故称「向心」加速度）}$$

C）ω 法（与 Formelnheft 两种写法互推）

1. 角速度与轨道速度的关系（S. 2）：转过角 $\mathrm{\Delta }\phi$ 时走过弧 $\mathrm{\Delta }s=r\mathrm{\Delta }\phi$（弧度制下弧长定义），两边除以 $\mathrm{\Delta }t$：$$v=\omega \cdot r$$
2. 代入 B 的结果（把 $v=\omega r$ 代入 $a_Z=v^2/r$）：$$a_Z=\frac{(\omega r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2{r}^2}{r}={\omega }^{2}r$$（约掉一个 $r$——纯代数。）反向亦然：从 $a_Z={\omega }^{2}r$ 代 $\omega =v/r$ 立刻回到 $v^2/r$。两种写法等价：$$\boxed{{\displaystyle a_Z={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}}}$$

D）向心力 $F_Z={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

1. 牛顿第二定律（S. 2）：加速度必须由力产生，$F=m\cdot a$。
2. 代入 $a=a_Z$：$$\boxed{{\displaystyle F_Z=m\cdot \frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r}}\text{（方向：与 }{a}_Z\text{ 相同，指向圆心）}$$
3. 概念提醒： 向心力不是一种独立的自然力，而是一个角色，由现成的力担当——卫星：引力；链球：绳张力；原子中电子：库仑力。（离心力则是转动参考系中的假想力。）

E）向心力不做功（$\overrightarrow{F}\perp \overrightarrow{v}$）

1. 功的定义（S. 2）：$W=F\cdot s\cdot \cos \alpha$，$\alpha$ 为力与位移的夹角。
2. 几何事实： 向心力指向圆心，瞬时位移沿切向 ⇒ $\alpha =90°$，$\cos 90°=0$。
3. 结论：$$W=F_Z\cdot s\cdot \cos 90°=0$$所以向心力只改变速度的方向、不改变其大小——这与「匀速圆周运动速率不变」自洽：不做功 ⇒ 动能不变 ⇒ $v$ 不变。

变量表

符号	含义	SI 单位
$a_Z$	向心加速度（指向圆心）	m/s²
$F_Z$	向心力（指向圆心）	N
$m$	绕行物体的质量	kg
$v$	轨道速度（切向，速率恒定）	m/s
$r$	轨道半径	m
$\omega$	角速度（$360°=2\pi$ rad）	rad/s
$\mathrm{\Delta }\phi$	小时间内转过的角	rad
$\mathrm{\Delta }s$	$P_1{P}_2$ 间弦长（极限下 = 弧长）	m
$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$，$\mathrm{\Delta }v$	速度矢量差及其大小	m/s
$\mathrm{\Delta }t$	小时间间隔（取极限 $\to 0$）	s
$f$	频率（$\omega =2\pi f$ 中出现）	Hz
$W$	功（此处 $=0$）	J
$\alpha$	力与位移的夹角（此处 $90°$）	°（或 rad）

关联

• 向心力由引力担当 ⇒ 卫星轨道 → H05
• 「$\overrightarrow{F}\perp \overrightarrow{v}$ 不做功」依据功的定义 → H02
• 讲义出处：主题 8 §8.7（向心力概念、$F_Z=m{v}^2/r$、假想力讨论）、主题 2 §2.1（同一预备）、主题 5 §5.1（加速度 = 速度矢量的变化）