目标公式：

$$v_F=\sqrt{\frac{2GM}{r}},v_F=\sqrt{2}{v}_{\text{Kreis}},E_{\text{ges}}=-\frac{GMm}{2r}$$

适用范围/假设： 只考虑该天体的引力（忽略空气阻力、其他天体）；$m\ll M$（中心天体视为静止）；逃逸的定义：以恰好 $v_F$ 出发的物体在 $r\to \mathrm{\infty }$ 处速度恰好降为 $0$（经无限长时间）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$W=G\cdot M\cdot m\cdot ({\displaystyle \frac{1}{r_1}}-{\displaystyle \frac{1}{r_2}})$	Gravitationsenergie（引力场中从 $r_1$ 举到 $r_2$ 的举升能）——本推导的关键，恰好在册！	✅ S. 2 („Gravitationsenergie")
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie（动能）	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz（万有引力定律，背景）	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$v_{\text{Kreis}}=\sqrt{GM/r}$	圆轨道速度（用于 $\sqrt{2}$ 关系与 $E_{\text{ges}}$）	❌ 不在 Formelnheft——见 [[Satellit Kreisbahn
$v_F=\sqrt{2GM/r}$，$E_{\text{ges}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$	逃逸速度 / 轨道总能量	❌ 不在 Formelnheft——考场需现场推（见下）
能量守恒 $E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\text{konst.}$	Energieerhaltungssatz	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己陈述

推导（Schritt für Schritt）

A）逃逸所需的举升能（由 Formelnheft 的 Gravitationsenergie 取极限）

1. 写出在册公式（Formelnheft S. 2，„Gravitationsenergie"）：把质量 $m$ 在 $M$ 的引力场中从 $r_1$ 搬到 $r_2$ 所需的能量为$$W=G\cdot M\cdot m\cdot (\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$$（它已经把「引力随距离减小」考虑在内——正是 $mgh$ 在大距离上的严格替代品。）
2. 代入逃逸情形。 出发点：天体表面，$r_1=r$；目标：「彻底摆脱引力场」= 到达无穷远，$r_2\to \mathrm{\infty }$。
3. 取极限。 此处取极限 $r_2\to \mathrm{\infty }$，因为逃逸的定义就是到达无穷远；此时 ${\displaystyle \frac{1}{r_2}}\to 0$：$$W_{\mathrm{\infty }}=GMm(\frac{1}{r}-0)=\frac{GMm}{r}$$这就是从表面逃到无穷远所需的全部举升能——一个有限的数！（所以逃逸才可能。）

B）逃逸速度 $v_F=\sqrt{2GM/r}$（能量法）

1. 能量账本。 出发时物体只带动能 $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}_F^2$；按定义到无穷远时 $v=0$ ⇒ 动能正好全部用于支付举升能 $W_{\mathrm{\infty }}$（不多不少——多则带剩余速度，少则中途折返）。
2. 令相等（能量守恒）：$$\frac{1}{2}m{v}_F^2=\frac{GMm}{r}$$
3. 约掉质量 $m$（两边同除以 $m$，$m>0$）——逃逸速度与飞船质量无关：$$\frac{v_F^2}{2}=\frac{GM}{r}$$
4. 两边同乘 2：$$v_F^2=\frac{2GM}{r}$$
5. 开平方（取正根）：$$\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{\frac{2GM}{r}}}}$$
6. 算例（独立验算，S. 1 数值）： 地球表面 $r=R_E=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m：$$v_F=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,371}\cdot {10}^6}}=\sqrt{\mathrm{1,251}4\cdot {10}^8}\approx 11187\text{m/s}\approx 11,2\text{km/s}✓$$（= 第二宇宙速度；月球约 $2,4$ km/s。讲义用 $mgh$ + $h=r$ 的简化推导得到同一公式——讲义自己注明：严谨版正是本处「表面总能量 = 0」的能量法。）

C）$v_F=\sqrt{2}{v}_{\text{Kreis}}$（与圆轨道速度的关系）

1. 并排写出两条公式：圆轨道（H05）$v_{\text{Kreis}}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$；逃逸（B 第 4 步）$v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$。
2. 两式相除（${\displaystyle \frac{GM}{r}}\ne 0$ 约掉）：$$\frac{v_F^2}{v_{\text{Kreis}}^2}=2$$
3. 开平方：$$\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{Kreis}}}}$$核对：$7,9\cdot \sqrt{2}\approx 11,2$ km/s ✓（第一 → 第二宇宙速度）。

D）圆轨道总能量 $E_{\text{ges}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

1. 写出大距离势能。 取无穷远处 $E_{\text{pot}}=0$ 为零点，则物体在 $r$ 处的势能等于「还差多少才到零点」的负值——即 A 第 3 步举升能的相反数：$$E_{\text{pot}}=-\frac{GMm}{r}$$（负号表示被束缚：比无穷远处能量低，处于势阱中。）
2. 写出总能量（动能 + 势能）：$$E_{\text{ges}}=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{r}$$
3. 代入圆轨道速度（H05：$v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$）：$$E_{\text{ges}}=\frac{1}{2}m\cdot \frac{GM}{r}-\frac{GMm}{r}=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}$$
4. 通分合并（$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$）：$$\boxed{{\displaystyle E_{\text{ges}}=-\frac{GMm}{2r}}}$$圆轨道总能量为负——卫星被束缚。（顺带：$|E_{\text{pot}}|=2E_{\text{kin}}$，束缚轨道的普遍特征。）

E）$E_{\text{ges}}$ 的符号 ↔ 轨道形状（三分类）

由 $E_{\text{ges}}=\frac{1}{2}m{v}^2-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$ 的符号直接读出轨道类型：

$E_{\text{ges}}$	物理含义	轨道形状
$<0$	动能不足以支付逃逸账单——物体被束缚在势阱中	圆 / 椭圆
$=0$	恰好 $v=v_F$（B 第 2 步正是 $E_{\text{ges}}=0$ 的情形）	抛物线
$>0$	$v>v_F$，到无穷远后仍有剩余动能	双曲线

变量表

符号	含义	SI 单位
$v_F$	逃逸速度（表面出发）	m/s
$v_{\text{Kreis}}$，$v$	同高度圆轨道速度；瞬时速度	m/s
$W$，$W_{\mathrm{\infty }}$	举升能（$r_1\to r_2$）；逃到无穷远的举升能	J
$E_{\text{kin}}$，$E_{\text{pot}}$，$E_{\text{ges}}$	动能；势能（零点取无穷远）；总能量	J
$m$	飞船/物体质量（B 中约掉）	kg
$M$，$M_E$	中心天体质量；地球质量 $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg（Formelnheft S. 1）	kg
$G$	引力常数 $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg²（S. 1）	N·m²/kg²
$r$，$r_1$，$r_2$	到天体球心的距离（表面出发 $r=R_E$）；起点/终点距离	m
$R_E$	地球半径 $=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m（S. 1）	m

关联

• 圆轨道速度 $v_{\text{Kreis}}=\sqrt{GM/r}$ 的推导（C、D 的输入）→ H05
• 同款能量法的地表小高度版本（$v=\sqrt{2gh}$，质量同样相消）→ H03
• 势能概念与零点选取 → H02
• 讲义出处：主题 2 §2.4（定义、能量推导、$\sqrt{2}$ 关系、第二宇宙速度）、主题 2 §2.5（三分类、$E_{\text{pot}}=-GMm/r$）、主题 11 §11.7（$v_F=c$ ⇒ 史瓦西半径）