目标公式：

$$\text{点声源（球面）：}I=\frac{P}{4\pi r^2}\propto \frac{1}{r^2}\text{线声源（圆柱）：}I=\frac{P}{2\pi rL}\propto \frac{1}{r}$$

适用范围/假设：

• 能量守恒、无吸收：声源功率 $P$ 恒定，能量不消失，只是摊在越来越大的波前上（实际空气有吸收，高频衰减更快——此处忽略，是近似）。
• 点声源：各向同性辐射（向所有方向均匀）→ 波前为球面。
• 线声源：通道近似无限长直线、沿线均匀辐射 → 波前为圆柱侧面；该近似在 $r\ll L$（离通道距离远小于通道长度）时成立。
• 同样的几何论证适用于任何从源向外传播的辐射（声、光、γ 射线——辐射防护的距离平方定律同源）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$I={\displaystyle \frac{P}{A}}$	强度定义（单位面积功率）	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己写出（定义）
$P={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}}$	Leistung（功率）	✅ S. 2 („$P=\mathrm{\Delta }W/\mathrm{\Delta }t$")
$A_{\text{球}}=4\pi r^2$	球面积	❌ 数学公式，不在 Formelnheft
$A_{\text{柱}}=2\pi r\cdot L$	圆柱侧面积	❌ 数学公式，不在 Formelnheft
$L=10\cdot \log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}$	Lautstärke（声级，延伸用）	✅ S. 3 („Lautstärke")

⚠️ 本推导的目标公式本身不在 Formelnheft（❌）——考场必须能从"功率摊在波前上"现场推出；好在所需面积公式属于初等数学。

推导（Schritt für Schritt）

第 1 步——核心思想：强度＝单位面积的功率

1. 声源每秒发出能量 $P$（功率，S. 2）。由能量守恒，这些能量不会消失，而是随波前向外传播。
2. 强度的定义：距离 $r$ 处，穿过波前面积 $A(r)$ 的单位面积功率$$I(r)=\frac{P}{A(r)}$$
3. 因此一切归结为几何问题：波前面积 $A$ 如何随 $r$ 增长？

第 2 步——点声源：球面 → $1/r^2$

1. 点声源向所有方向均匀辐射 → 波前是以声源为心、半径 $r$ 的球面。
2. 球面积（数学）：$A=4\pi r^2\propto r^2$（在两个方向上同时扩张）。
3. 代入定义：$$\boxed{{\displaystyle I=\frac{P}{4\pi r^2}\propto \frac{1}{r^2}}}$$
4. 翻倍检验： $r\to 2r$ → 面积变 $2^2=4$ 倍 → 强度降到 ¼。
5. 数值验算： $P=100$ W 的点源：$r=10$ m 处 $I={\displaystyle \frac{100}{4\pi \cdot 100}}\approx \mathrm{0,080}$ W/m²；$r=20$ m 处 $I={\displaystyle \frac{100}{4\pi \cdot 400}}\approx \mathrm{0,020}$ W/m² —— 恰为 ¼ ✓。

第 3 步——线声源（闪电通道）：圆柱 → $1/r$

1. 长闪电通道不是从一个点、而是沿一条直线（长 $L$）辐射 → 波前是绕这条线、半径 $r$ 的圆柱侧面。
2. 圆柱侧面积（数学）：$A=2\pi r\cdot L\propto r$——只是一次方：侧面只在一个方向（径向）扩张，沿通道长度 $L$ 不扩张（端面贡献在 $r\ll L$ 时可忽略——近似点明）。
3. 代入定义：$$\boxed{{\displaystyle I=\frac{P}{2\pi rL}\propto \frac{1}{r}}}$$
4. 翻倍检验： $r\to 2r$ → 面积只变 2 倍 → 强度只降到 ½。

第 4 步——对比与应用

	波前	$A(r)$	$I(r)$	$r$ 翻倍	声级变化（S. 3）
点声源	球面	$4\pi r^2$	$\propto 1/r^2$	→ ¼	$10\log 4\approx -6$ dB
线声源	圆柱	$2\pi rL$	$\propto 1/r$	→ ½	$10\log 2\approx -3$ dB

1. 雷声： 长闪电通道＝线声源 → 雷声随距离衰减慢得多（$1/r$），且通道各段远近不同、声音先后到达 → 隆隆滚动声。远处通道近似缩为一点 → 过渡回 $1/r^2$。
2. 辐射防护（3A 之 Abstand，距离）： γ 点源同样服从 $1/r^2$——后退一步收益巨大：距离加倍剂量率只剩 ¼，三倍只剩 1/9。这正是讲义主题 12 §12.6 "Abstand" 的定量根据。
3. 响度对接 Formelnheft： 用 S. 3 „Lautstärke" 把强度比换算成 dB（见上表）——点源每翻倍距离 −6 dB，线源 −3 dB。

变量表

符号	含义	SI 单位
$I$	声强（单位面积功率）	W/m²
$P$	声源（声）功率	W
$A$	距离 $r$ 处的波前面积	m²
$r$	到声源（点／线）的距离	m
$L$	线声源（闪电通道）长度	m
$L_{\text{dB}}$	声级（Lautstärke，延伸）	dB
$I_0$	听阈参考强度（${10}^{-12}$ W/m²，S. 3 定义中的参考值）	W/m²

关联

• 讲义出处：主题 6 §6.4（逐步推导口径一致）、主题 6 §6.3（雷声）
• 距离平方定律用于辐射防护：主题 12 §12.6
• 波的基础（$c=\lambda f$、纵波）：H15、主题 13 §13.4