9.1 能量的量子化

来源： 考纲 §9 · 课堂笔记 §6.1.1

普朗克（Planck，1900）发现：能量是量子化的——不是连续交换，而是以离散份额交换。

$$\boxed{{\displaystyle E=h\cdot f}}$$

符号	含义	单位
$E$	一个量子的能量	J
$h$	普朗克常数 $=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$	Js
$f$	辐射频率	Hz

普朗克为何想到量子化？——「黑体」难题

1900 年之前，物理学面对一个具体谜题。黑体是一种理想物体，它吸收掉所有入射辐射（不反射），受热时发出的辐射谱只取决于温度（灼热的炉盘或炉口的小孔接近这种情形）。

问题是：辐射出的能量如何分配到各个频率上？

1. 经典物理把辐射场看作空腔中的驻波，并依「能量均分定理」（经典定理，给系统每个自由度/每个振动模式分配相同的平均能量）给每个驻波相同的平均能量。
2. 但向高频方向，可能的驻波越来越多。如果每个都分到一样多的能量，辐射能量就会向高频趋于无穷。
3. 这意味着：任何热的物体都会在紫外段辐射出无穷多能量——显然错误（后来称之为**「紫外灾难」**）。✎ 这里的*「灾难」*指理论（无穷能量）与观测（有限、有峰值）之间的矛盾。
4. 普朗克的出路（1900）：能量不能以任意小的量与器壁交换，而只能以最小份额 $E=hf$ 的整数倍交换：

$$E_n=n\cdot h\cdot f,n=0,1,2,3,\dots$$

$n\dots$ 整数（能量量子的个数）；$h\dots$ 普朗克常数；$f\dots$ 频率。

5. 为什么这能化解灾难： 高频波的最小份额 $hf$ 很大。要被激发，它必须一次性拿到这一整份大能量——在总能量有限时这是不大可能的。于是高频被**「冻结」、几乎不贡献。这样光谱就向高频下降**——正与实测吻合。

所以量子化并非随意假设，而是唯一能重现实测辐射谱的假设。

✎ 普朗克起初并不相信自己的公式（只把它当作解释黑体辐射的纯计算技巧，而非关于光本质的论断）。爱因斯坦认真对待它，并于 1905 年提出：光由光子组成——能量为 $hf$ 的量子粒子。这一区别意义深远：普朗克只把交换过程量子化（器壁分份额地放出能量）；爱因斯坦则认为光本身就以份额存在，即便在自由飞行中也如此。量子物理由此开端。（「波 vs 粒」之争的完整历史脉络见主题 13。）

✎ 真空中所有光子都以同一速度 $c_0\approx 3\times {10}^8$ m/s 传播——与频率/波长、光源、观察者都无关。这种光速恒定正是狭义相对论的基石。