目标公式：

$$\boxed{{\displaystyle R_S=\frac{2GM}{c^2}}}\text{以及}\rho =\frac{3c^6}{32\pi G^3{M}^2}\propto \frac{1}{M^2}$$

适用范围/假设：

• 启发式（牛顿式）推导：用经典动能与逃逸速度，把光当作「以 $c$ 飞行的抛体」——见下方专门小节「为何只是启发式」。
• 质量 $M$ 球对称、不自转、不带电（严格对应 Schwarzschild 解的前提）。
• 密度公式中的「体积」指事件视界包围的球体积（平均密度的约定，不是物质真实分布——ART 预言质量坍缩为奇点）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	kinetische Energie	✅ S. 2 („$E_{\text{kin}}=\frac{m{v}^2}{2}$")
$W=GMm({\displaystyle \frac{1}{r_1}}-{\displaystyle \frac{1}{r_2}})$	Gravitationsenergie	✅ S. 2 („Gravitationsenergie")
$v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$	Fluchtgeschwindigkeit	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己推出（第 1–2 步；完整版见[[zh/themen/Raumfahrtphysik/2.4#2.4 逃逸速度
$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$	Dichte	✅ S. 2 („$\rho =\frac{m}{V}$")
$V_{\text{球}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$	Kugelvolumen	❌ 数学公式，不在 Formelnheft——需自己写出
$c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Lichtgeschwindigkeit	✅ S. 1（常数表）

推导（Schritt für Schritt）

A) 史瓦西半径

1. 先推逃逸速度（能量守恒：在表面 $r_1=R$ 给物体动能，恰好够它爬出引力势阱到 $r_2\to \mathrm{\infty }$、到达时速度为零。所需提升功用 S. 2 的 Gravitationsenergie，取 $r_2\to \mathrm{\infty }$ 时 $\frac{1}{r_2}\to 0$）：$$\frac{m{v}_F^2}{2}=GMm(\frac{1}{R}-\underset{=0}{\underbrace{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}})=\frac{GMm}{R}$$
2. 约去 $m$ 并对 $v_F$ 求解（两边除以 $m\ne 0$、乘 2、开方——逃逸速度与抛体质量无关）：$$v_F=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$
3. 令 $v_F=c$（黑洞的定义性条件）（事件视界处逃逸速度恰好等于光速：连光都刚好逃不出去。把 $v_F=c$ 代入并两边平方）：$$c^2=\frac{2GM}{R}$$
4. 对 $R$ 求解（两边同乘 $\frac{R}{c^2}$——得到的临界半径称史瓦西半径）：$$\boxed{{\displaystyle R_S=\frac{2GM}{c^2}}}$$每个物体都有自己的 $R_S$：把质量 $M$ 压缩到 $R_S$ 以内，它就成为黑洞。

为何只是启发式（口试必讲！）

• 光没有静质量：第 1 步把光当作质量为 $m$ 的抛体处理，对光子根本不合法（$m$ 虽然约掉了，论证逻辑仍依赖「有质量的抛体」图像）。
• $\frac{1}{2}m{v}^2$ 在 $v\approx c$ 不合法：经典动能只是低速近似；接近光速必须用相对论能量（Formelnheft S. 5：$E_{\text{kin}}=(m-m_0)c^2$），牛顿力学在此本来就超出适用范围。
• 严格推导属于广义相对论：1916 年 Karl Schwarzschild 从爱因斯坦场方程得到球对称真空的精确解，事件视界位于 $R_S=2GM/c^2$。
• 结果相同是巧合：牛顿式推导给出与 ART 恰好相同的公式——系数 2 也对——这是幸运的巧合，不是论证的功劳。口试时主动点破这一点（讲义原话口径：„幸运的巧合"）。

算例（验算）

5. 地球（$M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg，S. 1）：$$R_S=\frac{2\cdot \mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8{)}^2}=\frac{\mathrm{7,973}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}}\approx 8,9\cdot {10}^{-3}\text{m}\approx 9\text{mm}✓$$
6. 太阳（$M_S=\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg，S. 1）：$$R_S=\frac{2\cdot \mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}}{\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}}=\frac{\mathrm{2,655}\cdot {10}^{20}}{\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}}\approx 2,95\cdot {10}^3\text{m}\approx 3\text{km}✓$$

B) 黑洞的平均密度

7. 写出平均密度的定义（S. 2 的 $\rho =m/V$，体积取视界球 $V=\frac{4}{3}\pi R_S^3$）：$$\rho =\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R_S^3}=\frac{3M}{4\pi R_S^3}$$
8. 先把 $R_S^3$ 算出来（把第 4 步整体取三次方——分子分母分别立方）：$$R_S^3={\left(\frac{2GM}{c^2}\right)}^3=\frac{8G^3{M}^3}{c^6}$$
9. 代入并化简（除以分数 = 乘以倒数；$M$ 约去一次幂，分母剩 $M^2$）：$$\rho =\frac{3M}{4\pi }\cdot \frac{c^6}{8G^3{M}^3}=\boxed{{\displaystyle \frac{3c^6}{32\pi G^3{M}^2}}}\propto \frac{1}{M^2}$$直观理由：$R_S\propto M$ → 体积 $\propto M^3$，而质量只 $\propto M$ → 密度 $\propto M/M^3=1/M^2$。黑洞越大，平均密度越小。
10. 验算：太阳质量黑洞（$c^6=(c^2{)}^3=(\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}{)}^3=7,26\cdot {10}^{50}$；$G^3=(\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}{)}^3=2,97\cdot {10}^{-31}$；$M_S^2=\mathrm{3,956}\cdot {10}^{60}$）：$$\rho =\frac{3\cdot 7,26\cdot {10}^{50}}{32\pi \cdot 2,97\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{3,956}\cdot {10}^{60}}=\frac{2,18\cdot {10}^{51}}{1,18\cdot {10}^{32}}\approx 1,8\cdot {10}^{19}\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}(\approx 2\cdot {10}^{19})$$交叉验算（不用公式，直接 $\rho =M/V$）：$R_S=2953$ m → $V=\frac{4}{3}\pi \cdot (2953{)}^3=1,08\cdot {10}^{11}$ m³ → $\rho =\frac{\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}}{1,08\cdot {10}^{11}}\approx 1,8\cdot {10}^{19}$ kg/m³ ✓（远超原子核密度 $\sim {10}^{17}$ kg/m³）。 反向数量级：$M\sim {10}^9{M}_{\odot }$ 的超大质量黑洞 → $\rho$ 缩小 ${10}^{18}$ 倍 → $\approx 18$ kg/m³，比水还稀。

变量表

符号	含义	SI 单位
$R_S$	史瓦西半径（事件视界半径）	m
$M$	天体/黑洞质量	kg
$m$	抛体（试探质量，推导中约去）	kg
$v_F$	逃逸速度	m/s
$R$	出发点到质心的距离（表面半径）	m
$r_1,r_2$	Gravitationsenergie 公式中的起点/终点距离	m
$\rho$	（视界内的）平均密度	kg/m³
$V$	视界球体积	m³
$c$	真空光速 $=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s（Formelnheft S. 1；讲义记作 $c_0$）	m/s
$G$	引力常数 $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$（Formelnheft S. 1）	N·m²/kg²
$M_E,M_S$	地球/太阳质量 $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ / $\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg（Formelnheft S. 1）	kg

关联

• H08——$GM$ 组合与「每个天体的参数都进同一套公式」。
• 主题 11 §11.7——讲义口径（含「严格吗？」追问与奇点、LHC 诉讼）；§11.7 平均密度。
• 主题 2 §2.4——逃逸速度的完整能量守恒推导（本文第 1–2 步的展开版）。