主题 8 — 经典力学

质量与密度 · 牛顿三大定律 · 胡克定律（+实验）· 功/功率/能量 · 动量

章节

• 8.1 质量、密度、质心
• 8.2 背景：伽利略 vs 经院学派
• 8.3 牛顿三大定律
• 8.4 胡克定律与实验
• 8.5 功、功率、能量
• 8.6 动量与角动量
• 8.7 圆周运动与向心力
• 8.8 转动：平动—转动对照

Selfcheck / 自测

1. 哪两个特征定义质量？为什么因此一切物体等速下落？
2. 为什么质量 ≠ 重量？这在哪里体现出来？
3. 什么是惯性参考系？为什么傅科摆的摆动平面是惯性系，而摆本身不是？
4. 说出牛顿三大定律。「公理」是什么意思？
5. 陈述胡克定律，并描述测定 $k$ 的实验（$F_H=F_G$）。
6. 为什么圆周运动中向心力不做功？
7. 为什么 kWh 是能量单位而非功率单位？
8. 用能量守恒推导 $v=\sqrt{2gh}$。为什么质量会相消？
9. 什么是动量？反冲原理如何起作用？
10. 角动量守恒说的是什么？它与哪条开普勒定律相关？
11. 圆周运动为什么需要力？什么是向心力，为什么离心力不是真实的力？
12. 作用力与反作用力为什么不会相互抵消？解开马拉车「悖论」。
13. 地球是惯性系吗？说明理由。
14. 傅科摆在南极转一整圈需要多久？为什么宇宙中没有完美的惯性系？
15. Problem der Masse：质量从哪里来？2012 年发生了什么？「质量概念可能改变」是什么意思？
16. 画家轶事：两幅「白纸上一条横线」——为什么画第 1 公理的画赢了，画第 3 公理的输了？
17. 什么是科里奥利力？用旋转木马的例子解释，并说出它在地球上的两个后果。
18. 说出傅科摆的史实要点（人物、年份、地点、摆长、摆锤质量）。
19. 给出四个转动量及其公式（$I$、$\omega$、$M$、$E_{\text{rot}}$）以及平动 ↔ 转动的对照表。
20. 用 $L=I\omega$ 说明：花样滑冰运动员收臂时为什么转得更快？

§§ANTWORTEN

1. 惯性质量 $m_t$（抵抗加速）与引力质量 $m_s$（引力作用）。因为 $m_t=m_s$（等效性），真空中一切物体等速下落。(§8.1)
2. 质量处处相同，重量 $G=m\cdot g$ 与地点有关。月球上 $g$ 更小 → 重量仅约 1/6，但质量不变。(§8.1)
3. 使第一定律成立的不加速参考系，所有惯性系等价。傅科摆的摆动平面在空间中方向不变（是惯性系），而摆本身一直被加速（不是）。(§8.3)
4. 一惯性定律、二 $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$、三作用与反作用（${\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{F}}_2$）。公理是无法被推导的基本原则，只需在实践中得到验证。(§8.3)
5. 长度变化与力成正比：$F_H=k\cdot \mathrm{\Delta }x$（回复力）。实验中挂上已知质量；平衡时 $F_H=F_G$，故 $k=\frac{m\cdot g}{\mathrm{\Delta }x}$。(§8.4)
6. 功为 $W=F\cdot s\cdot \cos \alpha$。向心力始终垂直于运动方向（$\alpha =90°$，$\cos =0$）→ $W=0$。(§8.5)
7. 千瓦时是功率 × 时间：$1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3,6\cdot {10}^6$ J。结果是能量（焦耳），不是功率。(§8.5)
8. 能量守恒：$\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$。质量 $m$ 在等式两边都出现，相消 → $v=\sqrt{2gh}$。(§8.5)
9. 动量 $\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$ 衡量「冲劲」（矢量、相对）。反冲（源自第三定律/动量守恒）中，喷出的气体把动量带向一方，火箭朝另一方。(§8.6)
10. 在封闭系统中（无外力矩），角动量 $L=m\cdot v\cdot r$ 守恒。这是开普勒第二定律（面积定律）的基础。(§8.6)
11. 圆轨道上 $\overrightarrow{v}$ 的方向不断改变 → 这就是加速度 → 由 $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ 需要一个指向圆心的力：向心力 $F_{\text{zp}}=\frac{m{v}^2}{r}$（它不是独立的自然力，而是由引力等担当的角色）。离心力只是假想力——随转动参考系一起转时的惯性效应。(§8.7)
12. 因为它们作用在不同的物体上——只有作用在同一物体上的力才能抵消。马拉车：一个力作用在车上、另一个作用在马上，所以不会抵消；系统能前进，是因为马向后蹬地、地球向前推马（冰面上恰恰缺了这股力）。(§8.3)
13. 严格说不是——地球在自转，还沿弯曲轨道绕太阳运行。短时间实验里它近似表现为惯性系；长时间实验（如傅科摆）会显出偏差——这也正是地球自转的证明。(§8.3)
14. 极点 $\sin 90°=1\Rightarrow T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$：老师口径 24 h（严格为恒星日 23 h 56 min）；对照维也纳约 32 h。没有完美惯性系，因为引力无处不在——没有任何地点严格不受力（由此通往等效原理）。(§8.3)
15. 来自与希格斯场的耦合；2012 年 CERN 证实了希格斯粒子。„Der Begriff der Masse könnte sich ändern"——物理概念会随物理学发展被重新定义。(§8.1)
16. 匀速直线运动的全部物理内容恰好就是一条线（没有力＝什么都看不见，画面完整忠实）；第 3 公理的二力作用在不同物体上，静态画面里的「较劲」不可见，与「什么都没发生」无法区分——图像无法承载其内容（解读，口径以课堂记忆为准）。(§8.3)
17. 科里奥利力是一种假想力，它在转动参考系中使运动着的物体侧向偏转。在转动的旋转木马上，笔直扔出的球看起来「漂向一旁」，因为木马在球下方继续转动。地球上的后果：信风被偏转（北半球向右）、气旋的旋转方向（北半球逆时针）。(§8.7)
18. 莱昂·傅科（Léon Foucault），1851 年，巴黎先贤祠（Panthéon），摆长 67 m，摆锤 28 kg——人人可见的、对地球自转的第一个直接证明。(§8.3)
19. 转动惯量 $I=m{r}^2$、角速度 $\omega$（$v=\omega r$）、力矩 $M=Fr$、转动能 $E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$。对照：$m\leftrightarrow I$、$v\leftrightarrow \omega$、$F\leftrightarrow M$、$p\leftrightarrow L=I\omega$、$\frac{1}{2}m{v}^2\leftrightarrow \frac{1}{2}I{\omega }^2$。(§8.8)
20. 因为角动量 $L=I\omega$ 守恒：收臂时质量向内收 → $I$ 减小 → 为保持 $L$ 不变，$\omega$ 必须增大 → 转得更快。(§8.8)